拉回 (范畴论)
在数学分支范畴论中,拉回(也称为纤维积或笛卡尔方块)是由具有公共上域的两个态射f : X → Z与g : Y → Z组成的图表的极限。拉回经常写作
泛性质
明确地说,态射f和g的拉回由一个对象P和两个态射 p1 : P → X与p2 : P → Y组成,使得图表
交换。并且拉回(P, p1, p2)对这个图表必须是通用的。这便是说,任何其它这样的三元组(Q, q1, q2)一定存在惟一的u : Q → P使得图表
交换。和所有泛构造一样,拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。
弱拉回
一个cospan X → Z ← Y的弱拉回是在cospan上面的锥只须满足弱泛性质,这就是说中间映射u : Q → P不必是惟一的。
例子
在集合范畴中,f与g的拉回是集合
以及投影映射的限制 与 映到X×Z Y。
- 这个例子启发另一种方式考虑拉回:作为态射f o p1, g o p2 : X×Y → Z的等化子,这里X×Y是X和Y的二元积
而p1与p2是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上,由极限存在定理,在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。
拉回的另一个例子来自纤维丛理论:给定一个纤维映射π : E → B以及一个连续映射f : X → B,拉回 X ×B E是X上的纤维丛,称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。
在任何具有终对象Z的范畴中,拉回X ×Z Y恰好是普通积X×Y。
性质
- 如果X ×ZY存在,那么Y ×Z X也存在,且存在态射X ×Z Y Y ×ZX。
- 单态射在拉回下不变:如果箭头f单,那么它就是箭头p2。例如,在集合范畴中,如果X是Z的子集,那么对任何g : Y → Z,拉回X ×Z Y是X在g下的逆像。
- 同构态射也不变,因此X ×X Y Y对任何映射Y → X成立。
又见
- 拉回的范畴对偶称为推出。
- 微分几何中的拉回。
- 关系代数中的相等连接。
参考文献
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (页面存档备份,存于互联网档案馆) (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. 编辑
- 有趣的网页给出了有限集合中拉回的例子,作者为Jocelyn Paine。