在数学的范畴论分支,若干个函数的等化子(英语:equaliser)是使其值相等的参数的集合。换言之,两个函数的等化子,是方程的解集。仅得两个函数时,也称为其差核,因为等于两个函数之差的核。
定义
设 与 为集合。又设 为从 至 的函数。则 与 的等化子为 中所有满足 的元素 的集合,以符号表示为:
-
等化子可以表示成 或类似的符号,如改成小楷 。有时非正式地写成 。
上述定义用到两个函数 ,但其实不必限制为两个函数,甚至不必为有限多个函数。一般而言,若 是一族函数,从 映向 ,则 的元素的等化子,是使 对所有 皆相等的元素 的集合。以符号表示:
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若 可以写成 ,则等化子亦记为 。此情况下,亦可非正式地写成 。
作为一般定义的退化,考虑 为单元集 。由于 必然等于自己,等化子等于整个定义域 。更退化的情况下,设 为空集。则等化子仍为全个定义域 ,因为条件的全称量化命题为空真命题。
差核
二元的等化子(即两个函数的等化子)又称差核(英语:difference kernel)。 的差核可以记为 、 、 。最后一种写法表明名称的由来,是两个函数之差的核,而且抽象代数中,该写法亦最常用。此外,单一个函数 的核,可以作为差核 找到,其中 表示取零值的常数函数。
以上假设核的意义如同抽象代数中,解作某函数作用下, 的原像,但在范畴论定义中,并不一定。
范畴论
等化子可以用泛性质定义,以将此概念从集合范畴推广到任意的范畴。
一般地,在任意范畴中,设 为物件,而 为自 往 的态射。此两件物件及两个态射组成该范畴的一幅图,而 的等化子,则是该图表的极限。
具体而言,等化子是物件 与态射 的整体,满足 ,且对任意物件 与态射 ,若有 ,则存在唯一的态射 ,使得 。
其中态射 满足的条件,即 ,又称为等化(英语:equalise) 与 。[1]
在泛代数范畴,例如有定义差核的范畴,或集合范畴 ,物件 总可以按原始定义(即 )选取,而相应的态射 则是 作为 子集的包含映射。
可以直接推广到多于两支态射的情况,只要用在图中,添加更多支态射,然后再取极限便可。同样,只有一支态射的退化情况也很直接,而 可以取为任何由 至 的同构。
但是,无态射的退化情况较为特殊,要较仔细画出正确的图。一开始,可能会尝试画出物件 和 ,然后不加任何态射。然而,此为不正确,因为该图的极限,是 和 的范畴论积,而非所求的等化子(应为 )。正确观念是,等化子的定义,与定义域 密切相关(例如在集合范畴的情况下, 出现在定义式中),但与 的关联则仅在于 是图中态射的陪域。 所以,若无态射,则 不必出现,故图仅有 。此图的极限,是任何 与 间的同构。
可以证明,任意范畴中的等化子,皆为单态射。反之,若逆命题成立,即单态射皆为某两支态射的等化子,则该范畴(在单态射意义下)称为正则(英语:regular)。更一般地,任意范畴中,正则单态射是某族态射的等化子。也有作者更严格,要求其为某两个态射的二元等化子。然而,若所考虑的范畴完备,则两种定义一致。
范畴论中,也有差核的概念。术语“差核”在范畴论各处也常用作描述二元等化子。预可加范畴中(于阿贝尔群范畴上浓缩的范畴,粗略而言,即每个态射集 皆具阿贝尔群结构),“差核”一词能逐字理解,因为两支(相同端点的)态射之差有定义,即 ,其中 表示范畴论核。
若范畴有拉回(纤维积)及积,则有等化子。
参见
- 余等化子,等化子的对偶概念,将定义中所有态射的方向反转而得。
- 重合理论,不动点理论的推广,拓扑学中,研究拓扑空间等化子的理论。
- 拉回,可以用等化子和范畴论积构造的一类极限。
参考文献
外部链接