相等

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成

对任意${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle x=y}$ 当且仅当对任意谓词${\displaystyle P}$  ，${\displaystyle P(x)}$ 当且仅当${\displaystyle P(y)}$ 。

然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：

对任意${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，若${\displaystyle x}$ 等于${\displaystyle y}$ ，则${\displaystyle P(x)}$ 当且仅当${\displaystyle P(y)}$ 。

这条公理对任意单变量的谓词${\displaystyle P}$ 都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：

对任意${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$ 等于${\displaystyle x}$ 。

则若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 具有相同的性质，则特定的它们关于谓词${\displaystyle P}$ 是相同的。这里谓词${\displaystyle P}$ 为：${\displaystyle P(z)}$ 当且仅当${\displaystyle x=z}$ 。 由于${\displaystyle P(x)}$ 成立，${\displaystyle P(y)}$ 必定也成立（相同的性质），所以${\displaystyle x=y}$ （' '${\displaystyle P}$ 的变量为${\displaystyle y}$ ）.

替代性

对任意量${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 和任意表达式${\displaystyle F(x)}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle F(a)=F(b)}$ （设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像${\displaystyle F}$ 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：

• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle a+c=b+c}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle x+c}$ ）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle a-c=b-c}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle x-c}$ ）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ ，则${\displaystyle ac=bc}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle xc}$ ）
• 对任意实数${\displaystyle a,b,c}$ ，若${\displaystyle a=b}$ 且${\displaystyle c\neq 0}$ ，则${\displaystyle a/c=b/c}$ （这里${\displaystyle F(x)}$ 为${\displaystyle x/c}$ ）

自反性

对任意量${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle a=a}$ 。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果${\displaystyle a=b}$ ，那么${\displaystyle b=a}$ 

传递性

例子：如果${\displaystyle a=b}$ ，${\displaystyle b=c}$ ，那么${\displaystyle a=c}$ 

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

“等于”符号或 “${\displaystyle =}$ ”被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是${\displaystyle \approx }$ 或≒，不等于的符号是${\displaystyle \neq }$ 。

• 等号

• 关系符号的早期使用（英文）