预可加范畴

预可加范畴最直接的例子是交换群范畴Ab；交换性在此不可或缺，它保证两个同态的和仍是同态。

其它常见例子包括：

• 一个环上的左模范畴，包括域或除环上的向量空间范畴。
• 环上的矩阵代数。

以上两例实则皆是可加范畴。

• 任何环皆可视为只有一个对象的范畴，态射对应于环的元素，并透过环的乘法运算合成；这是个预可加范畴，其同态集是该环对加法的交换群。

由于每个同态集${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ 都是交换群，其中遂有零元素，这是${\displaystyle A\to B}$ 的零态射。由于态射合成是双线性的，零态射在任一侧同任一态射的合成必为零态射；如果我们将合成类比于乘法，则上述性质可类比于${\displaystyle 0\cdot *=*\cdot 0=0}$ ；合成的双线性也可以依此设想为乘法分配律。

取${\displaystyle A=B}$ ，则同态集${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$ 对加法与合成构成一个环，称为${\displaystyle A}$ 的自同态环。反之，借由将环看成只有一个对象的预加法范畴，任何环都可以表成某个预加法范畴的自同态环。范畴论学者惯于将${\displaystyle R}$ 与对应的单对象范畴等量齐观，一个爱作怪的范畴论学者大可以将环定义为只有一个元素的预可加范畴。

依此观点，预可加范畴可视作环的推广（“范畴化”技术）。许多环论概念，如理想、Jacobson根与商环等等，皆可推广至此框架。

设${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ 为预加法范畴，若一个函子${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 使${\displaystyle F:\mathrm {Hom} (A,B)\to \mathrm {Hom} (F(A),F(B))}$ 为群同态，则称之为加法函子。形式地说，加法函子是浓化范畴之间的浓化函子。

例如，设${\displaystyle {\mathcal {R}},{\mathcal {S}}}$ 分别为环${\displaystyle R,S}$ 派生的单对象预加法范畴，则${\displaystyle {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}$ 的加法函子对应于${\displaystyle R\to S}$ 的环同态。

设${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ 为范畴，且${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 为预加法范畴，则函子范畴${\displaystyle \mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ 也构成预可加范畴，原因在于自然变换能自然地相加。若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 也是预加法范畴，则其间的加法函子范畴${\displaystyle \mathrm {Add} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ 也是预可加范畴。

后者导向模的推广：设${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为预可加范畴，则${\displaystyle \mathbf {Mod} ({\mathcal {C}}):=\mathrm {Add} ({\mathcal {C}},\mathbf {Ab} )}$ 称为${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的（广义）模范畴。一般意义下的左模对应于${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 只有一个对象的情形。一如环的情形，模论的许多概念皆可推广到此框架下。

可以证明：预可加范畴中的有限积${\displaystyle A:=A_{1}\times \cdots \times A_{n},\;p_{j}:A\to A_{j}}$ 若存在，则零态射与${\displaystyle \mathrm {id} _{A_{j}}}$ 导出的态射${\displaystyle i_{j}:A_{j}\to A}$ 使${\displaystyle A}$ 成为双积，对内射${\displaystyle i_{j}:A_{j}\to A}$ 则成为${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ 的上积；相对地，有限上积也带有自然的双积结构。对任何对象${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ 都存在双积的预可加范畴称为可加范畴。

由于预可加范畴中有零态射，我们可以定义一个态射${\displaystyle f:A\to B}$ 的核与上核为：

${\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=\mathrm {Ker} (f,0)}$ 

${\displaystyle \mathrm {Coker} (f):=\mathrm {Coker} (f,0)}$ 

其中的${\displaystyle \mathrm {Ker} (-,-),\mathrm {Coker} (-,-)}$ 分别为一对态射的等化子与上等化子。利用态射集上的群结构与合成的双线性，等化子与上等化子也能够用核与上核刻划：

${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g):=\mathrm {Ker} (f-g)=\mathrm {Ker} (g-f)}$ 

${\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g):=\mathrm {Coker} (f-g)=\mathrm {Coker} (g-f)}$ 

对于交换群或模的范畴，核与上核分别对应于抽象代数的定义，但是在一般的预可加范畴中，态射不一定有核与上核。对所有态射都有核与上核的范畴称为预阿贝尔范畴。

• Nicolae Popescu; 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.