自然变换

设C和D是范畴，F和G是C和D之间的函子。一个从F到G 的自然变换η，对C中每个对象，给出一个在D的对象间的态射η_X : F(X) → G(X)，称为η在X处的分量（component），使得对C中每个态射f : X → Y都有：

${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$ 

上式可表达为交换图表：

如果F和G都是反变函子，将图表中的水平箭号方向反转。若η是从F到G 的自然变换，可记为η : F → G或η : F ⇒ G。这也可表达为态射族η_X : F(X) → G(X)在X中是自然的。

若对C中每个对象X，态射η_X是在D中的同构，则称η为自然同构。对两个函子F和G，若存在从F到G 自然同构，则称F和G为自然同构的，或简称为同构的。

若η : F → G和ε : G → H是函子F,G,H : C → D间的自然变换，则可以将之复合得到自然变换ε ⋅ η : F → H，其分量为(ε ⋅ η)_X = ε_Xη_X。这种“垂直复合”有结合律，并有单位元。这个复合运算可以使全部函子C → D形成一个范畴。（见下节函子范畴。）

自然变换也有“水平复合”。若η : F → G是函子F,G : C → D间的自然变换，ε : J → K是函子J,K : D → E间的自然变换，则可用函子间的复合得出自然变换间的复合${\displaystyle \eta \circ \epsilon :JF\to KG}$ 。这个运算也有结合律，并有单位元，单位元和“垂直复合”的单位元相同。以上两种复合之间有一条恒等式，这条恒等式将垂直和水平复合两者交换。

若η : F → G是函子F,G : C → D间的自然变换，而H : D → E是另一个函子，那么自然变换Hη : HF → HG定义为

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H\eta _{X}.}$ 

若K : B → C是一个函子，自然变换ηK : FK → GK定义为

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}.\,}$ 

设C是一个范畴，I是一个小范畴，那么可以形成函子范畴 C^I，其对象为所有从I到C的函子，而其态射为这些函子间的自然变换。如此形成的是一个范畴，因为对任何函子F都有一个单位自然变换1_F : F → F（对每个对象X都给出F(X)上的单位态射。），而两个自然变换的复合（上述的“纵向复合”）也是一个自然变换。

函子范畴C^I中的同构恰好是自然同构，也就是说一个自然变换η : F → G是自然同构，当且仅当存在一个自然变换ε : G → F，使得ηε = 1_G及εη = 1_F。

• Mac Lane, Saunders, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 2nd, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98403-8 
• MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett, Algebra 3rd, AMS Chelsea Publishing, 1999, ISBN 0-8218-1646-2 .