张量范畴(tensor category),或曰幺半范畴(monoidal category), 直觉地讲,是个配上张量积的阿贝尔范畴(abelian category),可当作环的范畴化。
定义
数学中,一个张量范畴(tensor category,或称幺半范畴 monoidal category)是一个包含单一个对象的双范畴)bicategory)。
更具体的描述:一个张量范畴是
- 一个范畴 ;
- 被赋予张量积,即一个二元函子
- ;
- 被赋予一个单位对象 ;
- 被赋予三组自然同构映射:
- 结合子 : ;
- 左/右单位子: 自然同构映射 , :
- ,
- ;
- 每 , , , ,
-
- 和
-
- 都交换.///
在这以上两道相容条件下,任何以结合子,左右单位子和张量积组成的图表都交换,因为
Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem):
每个幺半范畴都 幺半等价(monoidally equivalent) 于一严格幺半范畴(见下).
严格幺半范畴
严格幺半范畴(strict monoidal category)
是个幺半范畴 ,其自然态射 , 和 都是恒等影射.
取任一 范畴 , 我们可构筑其 自由严格幺半范畴
:
- 对象:其每一对象是一串由 里面的对象组成之有限序列 );
- 态射:当且仅当 时,我们在二个对象 和 之间定义 态射:每 -态射 是一串由 -态射组成的有限序列 ;
- 张量积: 二个 -对象 及 之张量积, 我们定义为 此二有限序列之串接(concatenation) ; 同样地任何二 -态射之张量积, 我们定义为其串接。
按:此算符 ,向由任一 范畴 配上 ,可推广到 上的严格-2-单子 (strict 2-monad)。
例
取任一范畴,若以其平常范畴积作张量积,以其终对象作单位对象,则成为一个张量范畴。
亦可取任一范畴,以其余积(co-product)作张量积,以其始对象作单位对象,亦成一个张量范畴。
(此二例实为对称幺半范畴结构。)
但亦有许多张量范畴(例如: -Mod,如下),其张量积 既非 范畴积 亦非 范畴余积。
以下举张量范畴二例——向量空间范畴和集合范畴——并表明其类比:
-Mod
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Set
|
---|
取任一域 或交换环 , 各 -模 所成之 范畴 -模 (若R 为一域, 则 R-模即 R-向量空间) 是一 对称幺半范畴;其张量积 ⊗ 与单位对象为: .
|
范畴 集 为一对称幺半范畴赋有张量积 × 与单位对象 {*}.
|
单元结合代数为 -模之 一对象,赋上态射 与 并满足以下条件:
|
A 幺半群 为一对象 M ,配上态射 与
并满足
|
|
|
and |
与
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. |
.
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A 余代数(coalgebra) 是一个 对象 C ,被赋予 态射
和
并满足以下条件:
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集内每一对象(即每一集合)S, 都被赋予 态射
和
满足以下条件:
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|
|
and |
and
|
.
|
.
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此 ε 是唯一的,因为 (即一元集合)是个终对象.
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相关的结构
- 很多张量范畴更进一步有 辫, 交换态射 or 封闭等结构. 详见下述参考。
- 幺半函子为二张量范畴(么半范畴)间、保存张量积结构之函子; 幺半态射为二么半函子间之态射(自然变换 (natural transformations))。
- 一般幺半群之概念可推广成么半范畴中的幺半对象。尤其者,可视一严格么半范畴作 范畴之“范畴” Cat中的么半对象(并以卡氏积为么半结构)。
- 上有界交半格 构成一严格对称么半范畴:其积为交,而单位元则为顶。
应用
- 么半范畴被用以定义直觉主义线性逻辑的积性部分模型。它们也是凝态物理中拓扑序的数学基础。
- 张量范畴是二维保角场论和拓扑量子场论之代数框架.
参考
- Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
- Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
- Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
- Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
- Baez, John, Definitions (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- : <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works (页面存档备份,存于互联网档案馆)