幺半范畴

张量范畴(tensor category),或曰幺半范畴(monoidal category), 直觉地讲,是个配上张量积阿贝尔范畴(abelian category),可当作范畴化

定义

数学中,一个张量范畴(tensor category,或称幺半范畴 monoidal category)是一个包含单一个对象的双范畴)bicategory)。 更具体的描述:一个张量范畴

  • 一个范畴  ;
  • 被赋予张量积,即一个二元函子
 ;
  • 被赋予一个单位对象  ;
  • 被赋予三组自然同构映射
    • 结合子 :  ;
    • 左/右单位子: 自然同构映射  ,  :
 ,
 ;
  • 满足以下相容条件:
 ,  ,  ,      ,
 
 
都交换.///

在这以上两道相容条件下,任何以结合子,左右单位子张量积组成的图表都交换,因为 Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每个幺半范畴都 幺半等价(monoidally equivalent) 于一严格幺半范畴(见下).

严格幺半范畴

严格幺半范畴(strict monoidal category) 是个幺半范畴 ,其自然态射  ,    都是恒等影射.

取任一 范畴  , 我们可构筑其 自由严格幺半范畴  :

  • 对象:其每一对象是一串由 里面的对象组成之有限序列  );
  • 态射:当且仅当 时,我们在二个对象    之间定义 态射:每  -态射 是一串由  -态射组成的有限序列  
  • 张量积: 二个 -对象  张量积, 我们定义为 此二有限序列之串接(concatenation)   ; 同样地任何二  -态射之张量积, 我们定义为其串接。

按:此算符   ,向由任一 范畴   配上  ,可推广到  上的严格-2-单子 (strict 2-monad)。

取任一范畴,若以其平常范畴积作张量积,以其终对象作单位对象,则成为一个张量范畴。 亦可取任一范畴,以其余积(co-product)作张量积,以其始对象作单位对象,亦成一个张量范畴。 (此二例实为对称幺半范畴结构。) 但亦有许多张量范畴(例如: -Mod,如下),其张量积 既非 范畴积 亦非 范畴余积。

以下举张量范畴二例——向量空间范畴和集合范畴——并表明其类比:

 -Mod Set
取任一交换环  , 各  - 所成之 范畴  -模 (若R 为一域, 则 R-模即 R-向量空间) 是一 对称幺半范畴;其张量积 ⊗ 与单位对象为: . 范畴 为一对称幺半范畴赋有张量积 × 与单位对象 {*}.
单元结合代数为 -模之 一对象,赋上态射    并满足以下条件: A 幺半群 为一对象 M ,配上态射  

  并满足

   
and
 .  .
A 余代数(coalgebra) 是一个 对象 C ,被赋予 态射

   并满足以下条件:

内每一对象(即每一集合)S, 都被赋予 态射

   满足以下条件:

   
and and
 .  .
此 ε 是唯一的,因为   (即一元集合)是个终对象.

相关的结构

  • 很多张量范畴更进一步有 , 交换态射 or 封闭等结构. 详见下述参考。
  • 幺半函子英语monoidal functor为二张量范畴(么半范畴)间、保存张量积结构之函子; 幺半态射为二么半函子间之态射(自然变换 (natural transformations))。
  • 一般幺半群之概念可推广成么半范畴中的幺半对象英语monoid object。尤其者,可视一严格么半范畴作 范畴之“范畴” Cat中的么半对象(并以卡氏积为么半结构)。
  • 上有界交半格 构成一严格对称么半范畴:其积为交,而单位元则为顶。

应用

  • 么半范畴被用以定义直觉主义线性逻辑的积性部分模型。它们也是凝态物理拓扑序的数学基础。
  • 张量范畴是二维保角场论拓扑量子场论之代数框架.

参考