张量积

有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

${\displaystyle (V\otimes U)_{i_{1}i_{2}\dots i_{m+n}}=V_{i_{1}i_{2}i_{3}\dots i_{n}}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}}$ 。^[1]

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 V 消耗前 rank(V) 个指标，而因子 U 再消耗 rank(U) 个指标，所以

${\displaystyle \mathrm {rank} (V\otimes U)=\mathrm {rank} (V)+\mathrm {rank} (U)}$ 

例子

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 U^α_β；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 V^γ。则

${\displaystyle U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }=(U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }}$ 

而

${\displaystyle V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }}$ 。

张量积继承它的因子的所有指标。

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 ${\displaystyle U}$  和 ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{11}V&u_{12}V&\cdots \\u_{21}V&u_{22}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{11}v_{11}&u_{11}v_{12}&\cdots &u_{12}v_{11}&u_{12}v_{12}&\cdots \\u_{11}v_{21}&u_{11}v_{22}&&u_{12}v_{21}&u_{12}v_{22}\\\vdots &&\ddots \\u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\\u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\\\vdots \end{bmatrix}}}$ 。

给定多重线性映射 ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$  和 ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$  它们的张量积是多重线性函数

${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m})}$ 

在域 ${\displaystyle K}$  上的两个向量空间 V 和 W 的张量积 ${\displaystyle V\otimes W}$  有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 ${\displaystyle (v,w)}$  的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 ${\displaystyle v\otimes w}$ 。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 ${\displaystyle V\otimes W}$ ，采用在 ${\displaystyle K}$  之上带有基 ${\displaystyle V\times W}$  的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系:

• ${\displaystyle (v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w}$ 
• ${\displaystyle v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}}$ 
• ${\displaystyle cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)}$ 

这里的 ${\displaystyle v,v_{i},w,w_{i}}$  是来自适当空间的向量，而 ${\displaystyle c}$  来自底层域 ${\displaystyle K}$ 。

我们可以推出恒等式

${\displaystyle 0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0}$ ，

零在 ${\displaystyle V\otimes W}$  中。

结果的张量积 ${\displaystyle V\otimes W}$  自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基 ${\displaystyle \{v_{i}\}}$  和 ${\displaystyle \{w_{i}\}}$ ，形如 ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}}$  的张量形成 ${\displaystyle V\otimes W}$  的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}}$  有维数 ${\displaystyle mn}$ 。

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

${\displaystyle \phi (u,w)=u\otimes w}$ 

的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射

${\displaystyle T:V\otimes W\rightarrow X}$ 

使得

${\displaystyle \psi =T\circ \phi }$ 。

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射

${\displaystyle B(V\times W,X)}$ 

和线性映射

${\displaystyle L(V\otimes W,X)}$ 

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

定义

设 ${\displaystyle H_{1}}$  和 ${\displaystyle H_{2}}$  是两个希尔伯特空间，分别带有内积 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}}$  和 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$ 。构造 H₁ 和H₂ 的张量积${\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}}$ 如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积${\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}}$ 。${\displaystyle H_{1}}$  和 ${\displaystyle H_{2}}$ 上的内积自然地扩展到${\displaystyle H}$ 上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义

${\displaystyle \langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\cdot \langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}}$ 

其中 ${\displaystyle \phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}}$  和 ${\displaystyle \phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$  即可。

现在${\displaystyle H}$ 是一未必完备的内积空间。将${\displaystyle H}$ 完备化，得到希尔伯特空间${\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}}$ ，这就是 H₁ 和 H₂作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，${\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}}$ 具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

性质

如果 H₁ 和 H₂ 分别有正交基 {φ_k} 和 {ψ_l}，则 {φ_k ⊗ ψ_l} 是 H₁ ⊗ H₂ 的正交基。

在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 ${\displaystyle (V\otimes W)^{\star }}$ （${\displaystyle V\otimes W}$  的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在 ${\displaystyle V\times W}$  上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 ${\displaystyle V}$  和 ${\displaystyle W}$  是有限维的，在 ${\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }}$  和 ${\displaystyle (V\otimes W)^{\star }}$  之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 ${\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }}$ 。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

1. ^ 类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形，比如定义了一个内积，这种区分是无关的。

• 外积
• 并矢积
• 张量积模型变换