克罗内克积

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积${\displaystyle A\otimes B}$ 则是一个 mp × nq 的分块矩阵

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$ 

更具体地可表示为

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}$ 

我们可以更紧凑地写为 ${\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}$ 

例子

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 3&2\cdot 0&2\cdot 3\\1\cdot 2&1\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 1\\3\cdot 0&3\cdot 3&1\cdot 0&1\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{bmatrix}}}$ .

双线性和结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：

${\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad {\mbox{(if }}B{\mbox{ and }}C{\mbox{ have the same size)}},}$ 

${\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad {\mbox{(if }}A{\mbox{ and }}B{\mbox{ have the same size)}},}$ 

${\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}$ 

${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}$ 

其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。

A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得

${\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}$ 

如果A和B是方块矩阵，则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = Q^T。

混合乘积性质

如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {AC} \otimes \mathbf {BD} .}$ 

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A ${\displaystyle \,\otimes \,}$  B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}$ 

克罗内克和

如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，${\displaystyle \mathbf {I} _{k}}$ 表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和${\displaystyle \oplus }$ 为：

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$ 

谱

假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ₁，……，λ_n为A的特征值，μ₁，……，μ_q为B的特征值。那么A ${\displaystyle \,\otimes \,}$  B的特征值为：

${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}$ 

于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\mbox{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{q}(\det \mathbf {B} )^{n}.}$ 

奇异值

如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有r_A个非零的奇异值，它们是：

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}$ 

类似地，设B的非零奇异值为：

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$ 

那么克罗内克积A ${\displaystyle \,\otimes \,}$  B有r_Ar_B个非零奇异值，它们是：

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$ 

由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：

${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}$ 

与抽象张量积的关系

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v₁, ... , v_m}、 {w₁, ... , w_n}、{x₁, ... , x_d}和{y₁, ... , y_e}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y，那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y，关于V ⊗ W的基{v₁ ⊗ w₁, v₁ ⊗ w₂, ... , v₂ ⊗ w₁, ... , v_m ⊗ w_n}和X ⊗ Y的类似基。^[1]

与图的乘积的关系

两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见^[2]第96个练习的答案。

转置

克罗内克积转置运算符合分配律：

${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}$ 

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB = C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

${\displaystyle (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (AXB)=\operatorname {vec} (C).}$ 

这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB = C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。（Horn & Johnson 1991，Lemma 4.3.1）.

在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。

如果把X的行堆起来，形成列向量x，则${\displaystyle AXB}$ 也可以写为${\displaystyle (A\otimes B^{T})x}$  （Jain 1989，2.8 block Matrices and Kronecker Products）。

1. ^ Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1 
2. ^ D. E. Knuth: "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 .

• Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9 .

• Kronecker product. PlanetMath. 
• MathWorld Matrix Direct Product （页面存档备份，存于互联网档案馆）