序拓扑

若 Y 为 X 的子集，则 Y 继承了 X 的全序。Y 因此具有序拓扑结构， 称为导出拓扑。作为 X 的子集，Y 还有一个子空间拓扑。子空间拓扑至少比诱导拓扑更精细，但一般情况下它们不相同。

例如，考虑有理数集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 。 在子空间拓扑中，单元集 {-1} 在 Y 中是开集，但在诱导拓扑中，任何含有 -1 的开集都必须包含 Y （除有限个以外）的所有元素。

虽然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 的子空间拓扑不是由 Y 的诱导排序产生，它仍是 Y 上的序拓扑；事实上，在子空间拓扑中，每一点都是孤立的（即，单元集 {y} 是 Y 的开集），故子空间拓扑是 Y 上的离散拓扑（使得每一个子集都是 Y 的开集)，而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 Y 的全序使得其产生的序拓扑是 Y 上的离散拓扑，只需修改 Y 上的诱导排序，使得 -1 是最大的元素，并保持其他元素的大小次序。于是，在新的排序（称为 <₁ ）中，有 1/n <₁ -1 对任意 n∈N 均成立。这样，<₁ 在 Y 中给出的序拓扑是离散的。

以下将定义一个序空间 X 及其子集 Z ，使得不存在 Z 上的全序给出一个序拓扑与 Z 的子空间拓扑完全一样。换言之，尽管该子空间拓扑为某序空间的子空间拓扑，其不为序拓扑。

取 ${\displaystyle Z=\{-1\}\cup (0,1)}$  为实数轴的子集。同上可知，Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上诱导的序拓扑。且可证，Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上的任何序拓扑。

用反证法。假设 Z 有一个严格全序 < ，使得 < 给出的序拓扑等于 Z 的子空间拓扑（注意，并未假定 < 是 Z 上的诱导排序，即 < 可以是任意一种新的全序）。区间也相应地按 < 理解，下同。 此外，如果 A 和 B 是集合，则 ${\displaystyle A<B}$  表示：对任意 A 的元素 a 和 B 的元素 b ，都有 ${\displaystyle a<b}$  。

设 M=Z \{-1} 为单位开区间，则 M 连通。若 m,n ∈ M 且 m<-1<n ，则 ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$  和 ${\displaystyle (-1,\infty )}$  是 M 的分隔，矛盾。因此，M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨设 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的开集，存在 M 中的一点 p 使得 (-1, p ) 为空。又因 {-1}<M ，-1 是唯一小于 p 的元素，因此 p 是 M 中最小的。但这样，M \ {p}=A ∪ B，其中 A 和 B 是实轴上不相交的两个开集（从实轴上的开区间去除一点，剩下的是两个开区间）。由连通性，没有 Z \B 中的点在排序后介于 B 的两点之间，也没有 Z \A 中的点在排序后介于 A 的两点之间。因此，任何一个 A<B 或 B<A. 又不妨设 A<B. 如果 a 为 A 中任何一点，则 p<a ，且 (p, a)${\displaystyle \subseteq }$ A. 又 (-1, a) = [p, a)，因此 [p, a) 是开集。而 {p}∪A = [p, a)∪A，因此 {p }∪A 是 M 的开子集，因此 M = ({p }∪A) ∪ B 把 M 分割成两个不相交的开集，这与 M 连通矛盾。

拓扑结构为序拓扑的空间称为序空间，而序空间的子空间称为广义序空间。因此，以上例子 Z 是一个广义序空间，但不是一个序空间。

类似的拓扑结构有：

• X 上的右序拓扑，其具有 (a, ∞) 形式的开集（包括 (-∞, ∞) ）。^[1]
• X 上的左序拓扑，其具有 (−∞, b) 形式的开集（包括 (-∞, ∞) ）。

左序拓扑和右序拓扑可作为点集拓扑学上的一些反例。例如，有界集上的左序拓扑或右序拓扑是紧空间，但不是豪斯多夫的。

集合论里，左序拓扑给出一个布尔代数上的标准拓扑。

对于任何序数 λ ，序数集

${\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}}$ 

${\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}$ 

具有自然的序拓扑结构。这种拓扑空间空间称为序数空间。（注意，按照集合论通常构造序数的方法，有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] ）显然，当 λ 为无穷序数时，情况较复杂；否则，对于有限的序数，其序拓扑是简单的离散拓扑。

当 λ = ω （最小的无穷序数）时，空间 [0,ω) 只是 N 及其往常的离散拓扑，而 [0,ω] 则是单点紧化的 N 。

当 λ = ω₁ （即所有可数序数组成的集合）时，情况有所不同。元素 ω₁ 是子集 [0,ω₁) 的极限点，但不存在 [0,ω₁) 中的序列以 ω₁ 为极限。确切地说，[0,ω₁]不是第一可数的。然而，子空间 [0,ω₁) 是第一可数的，因为唯一无可数邻域系的点是 ω₁. 其他性质包括

• [0,ω₁) 和 [0,ω₁] 皆不可分，也不第二可数。
• [0,ω₁] 是紧的，同时 [0,ω₁) 序列紧且可数紧，但不是紧的，也不是仿紧的。

• 长直线

1. ^ Steen, p. 74 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.