离散空间

给定集合X:

• 在X上的离散拓扑是通过集合X的所有子集是开集而定义的，而X是离散拓扑空间，如果它配备了它的离散拓扑；
• 在X上的离散一致是通过设置X × X中的对角{(x,x) : x ∈ X}的所有子集为周围（entourage）而定义的，而X是离散一致空间，如果它配备了它的离散一致。
• 在X上的离散度量${\displaystyle \rho }$ 定义为

${\displaystyle \rho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ x\neq y,\\0&{\mbox{if}}\ x=y\end{matrix}}\right.}$ 

对于任何${\displaystyle x,y\in X}$ 。在这种情况下${\displaystyle (X,\rho )}$ 被称为离散度量空间或孤点空间。

度量空间${\displaystyle (E,d)}$ 被称为“一致离散”的，如果存在${\displaystyle r>0}$ 使得对于任何${\displaystyle x,y\in E}$ ，要么${\displaystyle x=y}$ 要么${\displaystyle d(x,y)>r}$ 。在度量空间底层的拓扑空间可以是离散的，而没有一致离散的度量：例如在实数的集合{1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}上的平常度量。

在离散度量空间上的底层一致是离散一致，而在离散一致空间上的底层拓扑是离散拓扑。因此离散空间的不同概念是相互兼容的。在另一个方面，非离散一致或度量空间的底层拓扑可以是离散的；一个例子是度量空间X := {1/n : n = 1,2,3,...} (带有从实直线继承来的度量，并给出为d(x,y) = |x − y|)。明显的，这不是离散度量；还有这个空间不是完备的并因袭作为一致空间不是离散的。然而它作为拓扑空间是离散的。我们称X是“拓扑离散”而非“一致离散”或“度量离散”。

此外还有:

• 拓扑空间是离散的，当且仅当它的单元素集合是开集，也就是当且仅当他不包含任何会聚点。
• 单元素集合形成了这个离散拓扑的基。
• 一致空间X是离散的，当且仅当对角{(x,x) : x ∈ X}是周围。
• 所有离散拓扑空间满足每个分离公理；特别是，所有离散空间都是豪斯多夫空间，就是说是分离的。
• 离散空间是紧致空间，当且仅当它是有限的。
• 所有离散一致或度量空间是完备空间。
• 组合上两个性质，所有离散一致或度量空间是完全有界空间，当且仅当它是有限的。
• 所有离散度量空间是有界的。
• 所有离散空间是第一可数空间，并且离散空间是第二可数空间当且仅当它是可数的。
• 所有离散空间都是完全不连通空间。
• 所有非空离散空间都是第二范畴。
• 任何两个有相同势的离散空间都是同胚的。

任何从离散拓扑空间到另一个拓扑空间的函数是连续函数，任何从离散一致空间到另一个一致空间的函数是一致连续的。就是说，在拓扑空间和连续映射范畴中，或在一致空间和一致连续映射范畴内，离散空间X是集合X上的自由对象。这些性质是更广泛现象的实例，在其中离散结构通常自由于集合上。

对于度量空间，事情更加复杂，因为依赖于所选择的态射有很多度量空间范畴。离散度量空间当然是自由的，在态射都是一致连续映射或连续映射的时候，但是这没有说对度量结构有价值的事情，只针对了一致或拓扑结构。与度量结构更有关的范畴可以通过把态射限制为利普希茨连续映射或短映射来找到；但是，这些范畴没有自由对象（在多于一个元素的时候）。但是，离散度量空间在有界度量空间和利普希茨连续映射范畴内是自由的，并且它在有界于1的度量空间和短映射范畴是自由的。就是说，从离散度量空间到另一个有界度量空间的函数是利普希茨连续的，而任何从离散度量空间到另一个有界于1的度量空间的函数是短映射。

在其他方向上，从拓扑空间Y到离散空间X的函数f是连续的，当且仅当它是局部常数函数，在所有Y的点都有f在其上的邻域是常数的意义上。

离散结构通常用做不承载任何其他自然拓扑、一致或度量的集合上“缺省结构”。例如，任何群都可以通过给予它离散拓扑被认为是拓扑群，蕴涵了关于拓扑群适用于所有群的定理。实际上，分析学家更偏好被代数学家作为离散群来研究的平常的非拓扑群。在某些情况下，这可有用的应用，例如组合上Pontryagin对偶性。

0维流形（或微分流形或解析流形）就只是离散拓扑空间。在前面段落的精神下，我们可以把任何离散群看作0维李群。

尽管离散空间从拓扑学的角度看没有什么令人兴奋的，可以却可以从它们构造有趣的空间。例如，可数无限多个自然数离散空间的乘积同胚于无理数空间，带有同胚给出自连分数展开。可数多个离散空间{0,1}的乘积同胚于康托尔集合；并且事实上一致同胚于康托尔集合，如果我们在乘积上使用乘积一致。这种同胚给出自数字的三进制表示。（参见康托尔空间）。

在数学基础中，{0,1}乘积的紧致性质的研究是超滤子原理的拓扑途径的中心，它是弱形式的选择公理。

在某种意义上，离散拓扑的对立者是密着拓扑（也叫做“不可分拓扑”），它有最少可能数目的开集（就是空集和空间自身）。这里的离散拓扑是始对象和自由对象，而不可分拓扑是终对象或cofree对象：所有从拓扑空间到不可分空间的函数都是连续的。

• 圆柱集合