一致连续

一致连续又称均匀连续，（英语：uniformly continuous），为数学分析的专有名词，大致来讲是描述对于函数 f 我们只要在定义域中让任意两点 x 跟 y 越来越接近，我们就可以让 f(x) 跟 f(y) 无限靠近，这跟一般的连续函数不同之处在于：f(x) 跟 f(y) 之间的距离并不依赖 x 跟 y 的位置选择。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定义

设 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 皆是度量空间，我们说函数 $f:X\to Y$ 一致连续，这代表对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得定义域中任意两点 $x,y$ 只要 $d_{1}(x,y)<\delta$ ，就有 $d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon$ 。

当 $X$ 和 $Y$ 都是实数的子集合， $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 为绝对值 $|\cdot |$ 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得对任意两点 $|x-y|<\delta$ ，都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ ，则称函数 $f$ 在 $X$ 上一致连续。

一致连续跟在每点连续最大的不同在于：在一致连续定义中，正数 $\delta$ 的选择只依赖 $\epsilon$ 这变量，而不依赖定义域上点的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数 $f:X\to Y$ ， $(X,d_{1})$ 为紧致度量空间， $(Y,d_{2})$ 为度量空间。

假设 $f$ 不是一致连续的，则存在一个 $\epsilon >0$ ，对于任意 $n$ 都存在 $x_{n},y_{n}$ 满足条件 $d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}$ 并且 $d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon$ 。

因为 $X$ 为紧致度量空间， $X$ 是序列紧致的，所以存在一个 $(x_{n})$ 的收敛子序列 $(x_{k_{n}})$ ，设其收敛到 $x$ 。

$d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0$ ，所以 $(y_{k_{n}})\to x$ 。

因为 $f$ 连续， $\epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0$ ，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

正式的 ε-δ 定义

一致连续性定理

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