赫尔德条件数学上,称 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的实值函数 f {\displaystyle f} 适合赫尔德条件,或称赫尔德连续,当存在非负常数 C {\displaystyle C} , α {\displaystyle \alpha } ,使得 ∀ x , y ∈ R n {\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}} , | f ( x ) − f ( y ) | ≤ C | x − y | α . {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.} 这条件可以推广至任何两个度量空间之间的函数。 α {\displaystyle \alpha } 称为赫尔德条件的指数。如果 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} ,则函数适合利普希茨条件。如果 α = 0 {\displaystyle \alpha =0} ,则函数不过是有界的。 由适合某个赫尔德条件的函数组成的赫尔德空间,在泛函分析有关解偏微分方程的领域有基本地位。记 Ω {\displaystyle \Omega } 为某个欧几里得空间的开集,赫尔德空间 C n , α ( Ω ) {\displaystyle C^{n,\alpha }(\Omega )} 所包含的函数,是直到n阶微分都适合指数 α {\displaystyle \alpha } 的赫尔德条件。这是拓扑向量空间,可以定义半范数: | f | C 0 , α = sup x , y ∈ Ω | f ( x ) − f ( y ) | | x − y | α , {\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},} 对 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} ,下式给出范数: ‖ f ‖ C n , α = ‖ f ‖ C n + max | β | = n | D β f | C 0 , α {\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}} 其中 β {\displaystyle \beta } 涵盖所有多重指标,而 ‖ f ‖ C n = max | β | ≤ n sup x ∈ Ω | D β f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|} C 0 , α ( R ) {\displaystyle C^{0,\alpha }({\mathbb {R} })} 的例子 如果 0 < α ≤ β ≤ 1 {\displaystyle 0<\alpha \leq \beta \leq 1} ,那么所有 C 0 , β {\displaystyle C^{0,\beta }} 赫尔德连续函数都是 C 0 , α {\displaystyle C^{0,\alpha }} 赫尔德连续的。这也包括了 β = 1 {\displaystyle \beta =1} (这里需要集合是有界的),所以所有利普希茨连续函数都是 C 0 , α {\displaystyle C^{0,\alpha }} 赫尔德连续。在 [ 0 , 3 ] {\displaystyle [0,3]} 上定义函数 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} , f {\displaystyle f} 不是利普希茨连续;但对 α ≤ 1 2 {\displaystyle \alpha \leq {\frac {1}{2}}} , f {\displaystyle f} 是 C 0 , α {\displaystyle C^{0,\alpha }} 赫尔德连续。