利普希茨连续

对于在实数集的子集的函数${\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  ，若存在常数${\displaystyle K}$ ，使得${\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D}$ ，则称${\displaystyle f}$  符合利普希茨条件，对于${\displaystyle f}$  最小的常数${\displaystyle K}$  称为 ${\displaystyle f}$  的利普希茨常数。

若${\displaystyle K<1}$ ，${\displaystyle f}$  称为收缩映射。

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：

给定两个度量空间${\displaystyle (M,d_{M}),(N,d_{N})}$ ，${\displaystyle U\subseteq M}$ 。若对于函数${\displaystyle f:U\to N}$ ，存在常数${\displaystyle K}$  使得

${\displaystyle d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}$ 

则说它符合利普希茨条件。

若存在${\displaystyle K\geq 1}$ 使得

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}$ 

则称${\displaystyle f}$ 为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

若已知${\displaystyle y(t)}$ 有界，${\displaystyle f}$ 符合利普希茨条件，则微分方程初值问题${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}$ 刚好有一个解。

在应用上，${\displaystyle t}$ 通常属于一有界闭区间（如${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ）。于是${\displaystyle y(t)}$ 必有界，故${\displaystyle y}$ 有唯一解。

• ${\displaystyle f:[-3,7]\to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}}$ 符合利普希茨条件，${\displaystyle K=14}$ 。
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}}$ 不符合利普希茨条件，当${\displaystyle x\to \infty ,\quad f'(x)\to \infty }$ 。
• 定义在所有实数值的${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$ 符合利普希茨条件，${\displaystyle K=1}$ 。
• ${\displaystyle f(x)=|x|}$ 符合利普希茨条件，${\displaystyle K=1}$ 。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。
• ${\displaystyle f:[0,1]\to [0,1],\quad f(x)={\sqrt {x}}}$ 不符合利普希茨条件，${\displaystyle x\to 0,\quad f'(x)\to \infty }$ 。不过，它符合赫尔德条件。
• 当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，${\displaystyle f}$ 符合利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有${\displaystyle C^{1}}$ 函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。

• 符合利普希茨条件的函数连续，实际上一致连续。
• 双李普希茨(bi-Lipschitz)函数是单射。
• Rademacher定理：若${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 且${\displaystyle A}$ 为开集，${\displaystyle f:A''\to \mathbb {R} ^{n}}$ 符利普希茨条件，则${\displaystyle f}$ 几乎处处可微。^[1]
• Kirszbraun定理：给定两个希尔伯特空间${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ，${\displaystyle U\in H_{1}}$ ，${\displaystyle f:U\to H_{1}}$ 符合利普希茨条件，则存在符合利普希茨条件的${\displaystyle F:H_{1}\to H_{2}}$ ，使得${\displaystyle F}$ 的利普希茨常数和${\displaystyle f}$ 的相同，且${\displaystyle F(x)=f(x)\quad \forall x\in U}$ 。^[2][3]

1. ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18页以后）
2. ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
3. ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.