非标准分析

非标准分析（英语：Non-standard analysis），又可称为实无限分析或超标准分析，是一个数学分析的一个分支，它用严格定义的无穷小量的概念来构建分析学。1973年，直觉主义者阿兰德·海廷称赞非标准分析是“重要数学研究的标准模型”。[1]

历史

实无限的概念源自G·W·莱布尼兹，将微积分中的dx, dy等符号视为实际存在的无穷小量，而dy/dx则是它们之间的比值，也就是无限小尺度下的斜率。在G·W·莱布尼兹的时代，实无限的概念虽然符合直觉，但是被批评为不够严谨。

在德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）创建极限的潜无穷概念，替代实无限作为微积分的基础时，被学界认为是微积分的一大胜利，即能够严谨地表示与证明。[注 1]

1960年代初，德国数学家亚伯拉罕·鲁滨逊提出非标准分析，重新回到G·W·莱布尼兹的实无限取径，并以此建构出一个严谨的基础。他写道：

（...）无限小或无穷小量的想法在我们的直觉中出现得蛮自然的。不管怎么说，在微分和积分演算方法的形成之初，已经常用到了无穷小量。至于有人反对说（...）两个不同实数之间的距离不能无限小，G·W·莱布尼兹却认为，无穷小量理论使我们必需引入一种理想的数，它们比起实数而言可能无限小或者无限大，但都与后者拥有相同的性质。不过，无论是他本人，他的弟子们抑或后来的继承者们，都没能够把这种想像中的系统合理地发展出来。因此，无穷小量的理论逐渐遭到冷落，并最终为经典的极限理论所取代[2]。

鲁滨逊继续说道：

本书表明莱布尼茨的思想是完全可以得到平反的，而且还可以引出无论对经典分析还是对其它数学分支而言都能带来丰硕果实的全新方法。数学语言和数学结构之间的关系是现代模型论的基石，而对它的详细分析即是本书方法的关键。

 
无穷们在一个实在非标准实数域的场地里插上队。

有序域F中的非零元素称为无穷小量，当且仅当其绝对值小于F中任何形如1/n的元素，其中n为F中的标准整数。一个拥有无穷小量的有序域称为非阿基米德的。

更一般地说，无穷小分析是任何依赖于非标准模型和传达原理（英语：transfer principle）[注 2]的数学。一个域如果满足实数的传达原理，则为超实数域，而实无限分析就是使用这些域作为实数的非标准模型。

鲁滨逊的原始办法正是基于这些非标准的实数域模型。他那1966出版的的经典奠基作非标准分析，在今天仍有印行[3][注 3]。

动机

至少有三个原因使人们考虑无穷小分析：

历史上的原因

在牛顿和莱布尼兹发展无穷小算法的最初阶段，经常采取无穷小的数以及最终要消失的量等的表达方式。正如超实数中所提到的，这些提法曾遭到其它人的广泛非议，其中最著名的是乔治·贝克莱主教所写书籍消失量之鬼中提到的悖论，而当时牛顿也无法解决该悖论。[注 4]

用无穷小量来建立一个自洽的分析理论是一项挑战，方法不只一种，而第一个令人满意地完成此任务的人是亚伯拉罕·鲁滨逊[3]。

1958年，Curt Schmieden和Detlef Laugwitz发表了一篇文章Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung [4]，即“无穷小算法的拓展”，其中提出了含无穷小量的环的一种构造，这个环是用一些实数序列构造出来的：如果两个序列只在有限项不相等，则认为是等价的；算术运算是逐项定义的。然而，这样构造的环含有零因子，因此不能构成一个域。

教学上的原因

一些教育工作者认为，比起以往用ε-δ语言的办法来，用无穷小量更能使学生直观容易地把握分析的概念。见H·杰尔姆·基斯勒（英语：Howard Jerome Keisler）的书[5]。对某些结论而言，ε-δ语言多少有些笨拙，而无穷小量的方法有时能提供更容易的证明。例如，在非标准分析的框架下证明微分法的链式法则是较为简单的。这样的简化大多源于非标准分析的简单运算规则，即：

无穷小×有界量 = 无穷小
无穷小 +无穷小 = 无穷小

以及下面会提到的传达原理。无穷小分析的批评者认为，这些简化只是一种幻想，一种障眼法，使人看不见初等的ε-δ论证。他们争论说，理解超实数的这些公理和构造不见比ε-δ式的论证来得容易。

无穷小分析在教学上的另一个应用是爱德华·尼尔森（英语：Edward_Nelson）对随机过程处理。他在他的专著《概率论的初级理论》（Radically Elementary Probability Theory）讨论了这个问题。[6]。

技术上的原因

一些新近的工作中，特别是在统计学和数学物理中考查极限过程时，便使用了无穷小分析中的概念。Albeverio等讨论了此法的一些应用。

无穷小分析的各种建立方法

无穷小分析有两个非常不同的做法：语义学方法或称模型论方法，以及句法学方法。两个办法都能应用于除分析外的其它数学领域，包括数论，代数，和拓扑。

  • 语义学方法：鲁滨逊最初做非标准分析的方法便属于这一类。在他的论文中可见，此法的基础是考察一个理论的各种模型（尤其是饱和模型）。自鲁滨逊的工作以来，已由Elias Zakon发展出一套更简明的语义学方法。他使用了一些称为超结构的纯集合论对象。在这种新方法里，一个集合S上的超结构 V(S)取代了理论的各种模型。从V(S)出发构造出*V(S)时用到了超乘积的构造，以及V(S)到*V(S)的一个满足传达原理的映射。映射* 联系了V(S)和*V(S)的形式化性质。此外，可以考虑一种形式更简单的饱和模型，即可数饱和模型。这种简化的方法也更适合专业不在模型论或逻辑的数学家。
  • 句法学方法：句法学方法对理解和使用逻辑和模型论的要求要低得多。此方法是在70年代中期由数学家爱德华尼尔森建立的。尼尔森用完全公理化的方式构建了非标准分析；他称之为内含集合论（英语：Internal_set_theory）（简称IST）。[7] IST是策梅洛-弗兰克尔集合论（含选择公理，即ZFC）的延伸。其中除了元素间的基本二元关系 外，还引入了新的一元谓词，标准（standard）。

用合适的模型可以证明ZFC + IST相对于ZFC的相容性：若ZFC是相容的，则ZFC + IST也是相容的。实际上可以证明更强的命题：ZFC + IST是ZFC的一个保守扩展，也就是说任何经典公式（正确或不正确的！）只要可以在内含集合论中证明，则仅用策梅洛-弗兰克尔的公理系统加上选择公理就能证明。

使用句法学方法做非标准分析时，需要非常小心地应用集合构成原理（通常叫做概括公理，或分类公理模式）；数学家们常常想当然地认为此原理成立。但正如纳尔逊指出，一个常见的推理谬误正是在于非法构成集合。例如，在IST中不存在恰由所有标准整数构成的集合。为了避免非法构成集合，必须只使用ZFC中的谓词来定义子集[7]。

句法学方法的另一个例子是代替集合论[8]，由Petr Vopěnka（英语：Petr Vopěnka）引进。此理论试图寻找一套比策梅洛-弗兰克尔集合论更适合于非标准分析的公理系统。

注释

  1. ^ 卡尔·魏尔斯特拉斯的取径称为潜无穷取径，亦即定义和证明的过程都不涉及实际的无限小"量"，而以可无限趋近的算法取代。
  2. ^ 这个原理指出，把实数域上的一些命题搬到超实数域上仍然是对的。尚未找到此英文术语的通用中译。
  3. ^ 为了发展出无穷小量的算法，必须先解决几个技术问题。比如，只构造出含无穷小量的有序域是不够的；关于此事的讨论，参阅超实数
  4. ^ 亚伯拉罕·鲁滨逊及之后的建构者现已解决此悖论。

参见

中心话题：

  • 溢出法（英语：overspill）
  • 非标准微积分
  • 非标准测度论
  • 非标准泛函分析
  • 内含集合论

其它相关话题：

  • 各种超实数
  • 初等微积分
  • 超整数
  • 无穷小量
  • 超现实数
  • 非经典分析
  • 光滑无穷小量分析
  • 对非标准分析的批评
  • 非标准分析的影响

暂译术语

  • 传达原理（transfer principle）
  • 溢出法（overspill）
  • 内含集合论（Internal Set Theory）
  • 代替集合论（Alternative Set Theory）

参考资料

  1. ^ Heijting, A. (1973) "Address to Professor A. Robinson. At the occasion of the Brouwer memorial lecture given by Prof. A.Robinson on the 26th April 1973." Nieuw Arch. Wisk. (3) 21, pp. 134—137.
  2. ^ Robinson, Abraham. Non-standard analysis Revised edition. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-04490-2. 
  3. ^ 3.0 3.1 Robinson, Abraham (1966). Non-standard analysis.
  4. ^ Curt Schmieden and Detlef Laugwitz: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung, Mathematische Zeitschrift 69 (1958), 1-39
  5. ^ H. Jerome Keisler: Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals. 1976第一版，1986年第二版。已绝版。出版商己把著作权还于作者。作者提供了第二版的pdf格式：http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  6. ^ Edward Nelson: Radically Elementary Probability Theory, Princeton University Press, 1987. pdf格式可供下载http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/rept.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  7. ^ 7.0 7.1 爱德华尼尔森：Internal Set Theory: A New Approach to Nonstandand Analysis, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 83, Number 6, November 1977.此书中的一章Interal Set Theory可供下载：http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/1.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  8. ^ Vopěnka, P., Mathematics in the Alternative Set Theory. Teubner, Leipzig, 1979.