无穷小量

一个序列${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 若满足如下性质：

• 对任意的预先给定的正实数${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，存在正整数${\displaystyle \displaystyle N}$ 使得

${\displaystyle |a_{k}|<\varepsilon }$ 

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$ 时必定成立；或用极限符号把上述性质简记为

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ 

则序列${\displaystyle a}$ 被称为${\displaystyle n\to \infty }$ 时的无穷小量^[注1]。

无穷小量对应英语的Infinitesimals^[注2]，用于表达一种极其微小的对象，人们根本无从看见它们或者量度它们。在日常生活中，Infinitesimal作为形容词可以指“非常小”，但不一定是“无穷的小”。而中文的“无穷小量”仅是技术用语。

“无穷小的量”这个概念最初在埃利亚学派有所讨论。柏克莱指出这种无穷小量的特性“既不是有限量，也不是无限小，又不是零”。而阿基米德在他的《机械原理方法论》（The Method of Mechanical Theorems）初次提出过一种和无穷量有关的逻辑上严密的叙述^[参4]。不过在古希腊的数学系统里，实数并没有独立的存在地位，而是用几何上的长度来表示：1是代表某条线段的规定长度，用来给出测量所需的长度单位，数的加减法用线段的延长和截短来表示。阿基米德所说的是：对任意两个长度不等（无论长度相差多少）的线段，在长线段里不断截去短线段的长度，在有限次之后就不能再截下去，因为那些短线段长度的“和”超过了原本较长的那一条。如果把线段长度理解成数的话，则反映了实数集的阿基米德性质：没有任何实数x可以满足条件|x|>1，|x|>1+1，|x|>1+1+1……，也就是说，无穷大的实数并不存在。尽管如此，阿基米德还是把无穷大量和无穷小量用于启发式的论证中，但在完整的数学证明里则拒绝使用它们，而致力于使用“穷竭法”, 类似于现在的“ε-δ语言”。

牛顿和莱布尼兹发展微积分学时使用过无穷小量，但这样的不严格使用引来一些批评者的攻击。贝克莱主教就是其中之一^[参5]。尽管数学家、科学家、工程师等不断使用无穷小量来得到正确的结果，微积分却一直到后半十九世纪才等到了更严谨的，使用了ε-δ语言和集合论描述的形式，这项工作由奥古斯丁·路易·柯西，伯纳德·波尔查诺、卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔、理查德·戴德金等人完成。随着数学的发展及康托、戴德金、魏尔施特拉斯等人及他们的追随者的探索，他们的哲学家好友伯特兰·罗素、鲁道夫·卡尔纳普等人认为无穷小事实上是伪概念；但同时，赫尔曼·科恩等新康德主义者希望能找到一个保留无穷小的逻辑系统^[参6]。在二十世纪，无穷小量才得到了严格的处理，成为一种“数”。以上任何一种处理办法都不是错误的——如果正确地使用的话^[注3]。

在一份HPM（数学史与数学教学，History and Pedagogy of Mathematics）的研究中^[参7]，对无穷小量在一些数学家眼里的认识有一个总结：

就目前所知，在十九世纪以前没有任何形式上定义好的数学概念是直接把无穷小量当作“正常”的数来处理的，但很多想法其实已经出现。微积分的奠基人——牛顿、莱布尼兹、欧拉，以及很多其他人——以一种不严格的方式使用无穷小量，却也能得到正确而深刻的结果（类似地，实数在当时也没有正式的定义）。

关键字

• 穷竭法
• 无穷乘积
• 牛顿的流数法
• 莱布尼兹的“${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ”记号
• 欧拉对级数的处理
• 一致收敛
• 严格的极限概念
• 非标准分析

阶的比较

设${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ，${\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 为两个序列，而且都是${\displaystyle n\to \infty }$ 时的无穷小量。虽然它们在${\displaystyle n}$ 趋于无穷时都趋于零，但趋于零的速度是有区别的。可以用如下方式比较它们的速度：

• 若对于任意正实数${\displaystyle \displaystyle c>0}$ ，存在正整数${\displaystyle \displaystyle N}$ 使得

${\displaystyle a_{k}<c\cdot b_{k}}$ 

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$ 时总是成立，则称${\displaystyle \displaystyle a}$ 是${\displaystyle \displaystyle b}$ 的高阶无穷小^[参8]，记作

${\displaystyle \displaystyle a_{n}=o(b_{n})\quad (n\to \infty )}$ 

其中的${\displaystyle n\to \infty }$ 有时也被省略不写。

在上述定义中，也可以说无穷小量${\displaystyle a}$ 的阶要比${\displaystyle b}$ 的要高，或者说${\displaystyle a}$ 比${\displaystyle b}$ 更快地趋于零，尽管在此时“阶”或者“速度”本身其实都没有明确的定义。

性质

1. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 是无穷小量，改变${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 中的某有限项之后，它仍是无穷小量。
2. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 、${\displaystyle \{b_{n}\}}$ 都是无穷小量，${\displaystyle \{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}-b_{n}\}}$ 也是无穷小量。
3. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 是无穷小量，${\displaystyle \{b_{n}\}}$ 是有界数列，则${\displaystyle \{a_{n}b_{n}\}}$ 也是无穷小量。
4. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 是无穷小量，${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$ ，则${\displaystyle \{b_{n}\}}$ 也是无穷小量。
5. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 是无穷小量，从${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 中取出无穷多的一部分，按原来的次序排成的数列（这叫做${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 的子列）也是无穷小量。
6. 把${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 的次序打乱重新得到的数列${\displaystyle \{b_{n}\}}$ 。若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 是无穷小量，则${\displaystyle \{b_{n}\}}$ 也是无穷小量。
7. 无穷小量是有界列。
8. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 的各项相等，${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 是无穷小量则必有${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=\cdots =0}$ 。

设F为有序域，a为F中的一个非零元素。若对F中任意正整数n^[注4]，a < 1/n和-a > -1/n都成立（换句话说，即a的绝对值小于1/n），则称a为无穷小量。

一阶性质

在把扩充实数系使其能包含无穷大量和无穷小量时，人们希望能够尽量保持原系统的各种基本的性质^[注5]，这样的好处是，那些使用基本性质证明过的命题能够在新的系统里自动成立。这里的“基本”通常是指不对集合使用量词，但可以对集合的元素使用（有限次），比如以下公理“对任意的x，x+0=x”仍然应该成立；使用两次也行：“对任意的x和y，xy=yx”，而如果出现“对任意集合S”则不能算基本性质，在新系统中可能不成立，比如“任何形如{k∈Z|xk>y}都不是空集”就是一例（其实这就是阿基米德性质）。对命题量词的这种限制，叫做一阶逻辑。类似于阿基米德性质，实数集的完备性也不能在新的系统里成立，因为实数集是唯一的完备有序域。