代数无关

在抽象代数里，一个域${\displaystyle L}$的子集${\displaystyle S}$若被称做代数无关于一子域${\displaystyle K}$的话，表示${\displaystyle S}$内的元素都不符合系数包含在${\displaystyle K}$内的非平凡多项式。这表示任何以${\displaystyle S}$内元素排成的有限序列${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}$（没有两个是一样的）和任一系数包含在${\displaystyle K}$的非零多项式${\displaystyle P(x_{1},\cdots ,x_{n})}$，都会得到：

${\displaystyle P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0}$

特别的是，单元素集合${\displaystyle \{\alpha \}}$若是代数无关于${\displaystyle K}$的话，当且仅当${\displaystyle \alpha }$会是${\displaystyle K}$内的超越数或超越函数。一般而言，和于${\displaystyle K}$代数无关集合的所有元素也必然会是${\displaystyle K}$内的超越数或超越函数，但反之则不必然。

举例来说，实数${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$并不代数无关于有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$，当存在一非零多项式：

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$

${\displaystyle x_{1}}$代入${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$和${\displaystyle x_{2}}$代入${\displaystyle 2\pi +1}$时会变成${\displaystyle 0}$。

林德曼-魏尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数无关于有理数：当${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}$为线性无关于有理数的代数数时，${\displaystyle {\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}}$便会代数无关于有理数。

现在依然没有证明出集合${\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}\}}$是否代数无关于有理数。Nesterenko（英语：Yuri Valentinovich Nesterenko）在1996年证明了${\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}}$是代数无关于有理数的。

给定一域扩张${\displaystyle L/K}$，我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一${\displaystyle L}$的最大代数无关子集于${\displaystyle K}$。甚至，所有个最大代数无关子集都会有相同的基数，称之为此一域扩张的超越次数。