亨泽尔引理

设${\displaystyle f(x)}$ 为整系数多项式，${\displaystyle k}$ 为不少于2的整数，${\displaystyle p}$ 为质数。若整数${\displaystyle r}$ 是下面同余式的根：

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}.}$ 

对于

${\displaystyle f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$  （I）

，则有：

• 若${\displaystyle f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}}$ ，则存在唯一的整数${\displaystyle 0\leq t\leq p-1}$ 使得（I）成立。

${\displaystyle tf'(r)\equiv -(f(r)/p^{k-1}){\pmod {p}}.\,}$ 

• 若${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}}$  且 ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$  ，则（I）对任意整数t成立。
• 若${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}}$  但 ${\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$ ，则（I）无整数解。

Hensel引理可用泰勒公式证明。

${\displaystyle f(r+tp^{k-1})=f(r)+tp^{k-1}f'(r)+{\frac {1}{2}}t^{2}p^{2(k-1)}f''(r)+{\frac {1}{6}}t^{3}p^{3(k-1)}f'''(r)+...}$ 

因此可见，由第三项开始，都必能被${\displaystyle p^{k}}$ 整除。因此：

${\displaystyle f(r+tp^{k-1})\equiv f(r)+tp^{k-1}f'(r){\pmod {p^{k}}}}$ 

若${\displaystyle K}$ 为完备局域。设 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 为${\displaystyle K}$ 的整数环，设${\displaystyle f(x)}$ 为系数在 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 的多项式，若存在 ${\displaystyle \alpha _{0}\in {\mathcal {O}}_{K}}$ 使得

${\displaystyle |f(\alpha _{0})|<|f'(\alpha _{0})|^{2}}$ 

则${\displaystyle f(x)}$ 有根${\displaystyle \alpha \in K}$ 。

且：

1. ${\displaystyle \alpha _{i+1}=\alpha _{i}-{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}}$  趋近${\displaystyle \alpha }$ 
2. ${\displaystyle |\alpha -\alpha _{0}|\leq |{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}|<1}$ 

这个引理其中一个重要应用就是在域为p进数的情形。

• http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://eom.springer.de/h/h046930.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20071206223035/http://planetmath.org/encyclopedia/HenselsLemma.html