多值函数
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多值函数(英语:multivalued function, multifunction)为一数学名词,是一种二元关系。其中,定义域中的每一个元素都对应陪域中的至少一个元素。
此名词来源于复分析,例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许的元素对应多于一个中的元素;但复分析中,为了作区分,将原来定义的函数称为单值函数。
有些多值函数拥有主分支,而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值(principal value)。
例子
- 每个大于0的实数都有二个实数的平方根,例如4的平方根是{−2, +2}.,0的平方根是0。
- 一般而言,许多不为0的复数都有二个平方根、三个立方根、n个n次方根,只有0的n次方根为0。
- 复对数函数是多值函数。 ( 和 为实数)的值是 ,其中 为任意整数。 .
- 反三角函数为周期性的多值函数,例如
- 因此,arctan(1)在本质上会对应许多数值:π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定义域在−π/2 < x < π/2,此区域下tan x为单纯递增,则arctan(x)的值域会在−π/2 < y < π/2。这种限定区域下的值称为主值。
所有的多值函数都是来自非单射的函数,因为原始函数无法完全保存其输入的资讯,因此函数也就不可逆。
复变函数的多值函数会有分支点,例如n次方根以及对数函数中,0是分支点,而arctan函数中,虚数单位i和−i为分支点。利用分支点可以限定范围的方式,将这些函数重新定义为单值函数。若是在实函数的例子中,这个限制的区域一般会称为函数的主分支。
相关条目
- 部分函数
- 对应
- Fat link:一种一对多的超链接
- 区间有限元
- Hans Rådström
参考资料
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