积分常数

任何常数函数的导数均为零，因此只要发现一个函数的反导数${\displaystyle F(x)}$ ，因为${\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)}$ ，加上或减去一常数C后的函数也是反导数，积分常数可用来表示任何函数均有无限个不同的反导数。

例如，假设需要求得 ${\displaystyle \cos(x)}$ 的反导数，${\displaystyle \sin(x)}$ 、${\displaystyle \sin(x)+1}$ 及${\displaystyle \sin(x)-\pi }$ 的导数都是${\displaystyle \cos(x)}$ ，因此都是${\displaystyle \cos(x)}$ 的反导数。

同一个函数可以有许多的反导数，而这些反导数之间只相差一个常数，因此若要列出 ${\displaystyle \cos(x)}$ 所有的反导数，可以用以下的通式：

${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}$ 

C即为积分常数，利用下式可以确认这些函数的确都是${\displaystyle \cos(x)}$ 的反导数：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$ 

若利用线性代数的描述方式，微分算子可将k+1维的向量映射到k维的空间中，因此其反运算（积分）会多一个待确定的条件^[3]。

积分常数可以设为0，而且利用微积分基本定理计算定积分时，积分常数会互相抵消，积分常数看似没有必要。

不过试图将积分常数设为0的作法不一定合理，例如${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$ 可以用以二种方式积分：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}}$ 

即使将C设为0，仍然有些积分表示式中会出现常数，也就是说有些函数不存在一种最简单的反导数。

使用积分常数的另一个原因，是有时会需要反导数在特定点为某特定值，就像是初值问题的情形一様。例如要求出${\displaystyle \cos(x)}$ 的反导数，且x = π时的值为100，此时C只有一个数值才能满足此条件（此例中C = 100）。

上述限制可以用微分方程的形式来描述：求解一个函数${\displaystyle f(x)}$ 的反导数也就是求解微分方程${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ 。任何微分方程都有许多的解，每一个解都是一个良态初值问题的唯一解。上一段的问题中x = π时的值为100即为初始条件。每一个初值问题对应一个唯一的C值，若没有积分常数C，许多初值问题就无法求解。

原因可以用以下定理来表示：令${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 及${\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 为二个处处可微的函数。假设对于所有的实数x，${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$ 都成立，则存在一实数C使得对于所有的实数x，${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$ 皆成立。

若要证明此式，由于${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}$ ，因此以下用F-G来代替F，而用常数函数0来代替G，待证明为一个处处可微，导数恒为0的函数一定是常数：

选择一实数a，令${\displaystyle C=F(a)}$ 。针对任意的x，依照微积分基本定理可得

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}}$ 

因此可得${\displaystyle F(x)=C}$ ，因此F为常数函数。

证明过程中，有二个条件相当重要。首先，实数数线为连通空间，若实数数线不是连通空间，就无法从固定的a点积分到任意的x点。例如一函数只在[0,1]及[2,3]的区间有定义，而a为0，因为函数在1到2之间没有定义，不可能从0积分到3。此时会有二个常数，分别对应定义域中的二个连通空间。一般而言，若将常数改为局部常数函数（英语：locally constant function）s，可以将此定理延伸到不连通的空间中。例如${\displaystyle \textstyle \int dx/x}$ 有二个积分常数，而${\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,}$ 有无限个积分常数。1/x积分的一般式为：^[4]

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$ 

再者，F和G的条件需是处处可微的函数，若F及G在某一点不可微，则以上定理不成立。例如令${\displaystyle F(x)}$ 单位阶跃函数，在x负值时为0，在x非负时为1，令${\displaystyle G(x)=0}$ 。F在有定义导数的区域，其导数为0，G的导数恒为0，但F及G不只差一个常数而已。

甚至假设F及G为处处连续，几乎处处可微，则以上定理仍然不成立。康托函数和常数函数0就是这样的例子。