初值问题

一个初值问题涉及微分方程式

${\displaystyle y'(t)=f(t,\ y(t))\quad {\text{with}}\quad f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!}$  ，

与在 ${\displaystyle f\,\!}$  的定义域内的一点

${\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!}$  。

这在 ${\displaystyle f\,\!}$  的定义域内的点 ${\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\,\!}$  称为初始条件。

• 假若初值问题的一个解是函数 ${\displaystyle y\,\!}$  ，则 ${\displaystyle y\,\!}$  是微分方程式 ${\displaystyle y'(t)=f(t,\ y(t))\,\!}$  的解，满足 ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\,\!}$  。

• 对于更高阶的问题，可视 ${\displaystyle \mathbf {y} \,\!}$  为向量。每加高一个阶，就増添一个分量给 ${\displaystyle \mathbf {y} \,\!}$  。

对于许多的初值问题，解的存在性及唯一性可以用计算机来描述。

若ƒ在一个包括t₀及y₀的区间内连续，且对变数y满足利普希茨连续的条件．则皮卡-林德勒夫定理可保证在一个包括t₀的区间有唯一解。

此定理的证明需将问题变成等价的积分方程，积分可视为将一个函数映射为另一个函数的运算子，因此其解为运算子的不动点，再利用巴拿赫不动点定理证明有一个唯一的不动点．即为初值问题的解。

较早期证明皮卡-林德勒夫定理的方式是建构一个函数的数列，最终会收敛到积分方程的解，也就是初值问题的解。这种建构法称为“皮卡法”或是“连续近似法”，是巴拿赫不动点定理的一个特例。

日本数学家冈村博（日语：岡村博）找到一个初值问题有唯一解的充分必要条件，其条件是要证实系统的李亚普诺夫函数存在^[1]。

有些情形，函数ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨连续，因此一般可确认局部唯一解的方式无法适用。皮亚诺存在性定理可以在函数ƒ仅仅为连续函数的情形，证明存在局部解。不过此时无法证明解的唯一性^[2][3]。卡拉特欧多存在性定理（英语：Carathéodory existence theorem）可适用的范围更广，可以在ƒ是一些特定不连续函数的情形下证明局部解是否存在。

例一

一个简单的范例是求解${\displaystyle y'=0.85y}$ 及${\displaystyle y(0)=19}$ ，要求出一个${\displaystyle y(t)}$ 满足上述二式。

由于${\displaystyle y'={\frac {dy}{dt}}}$ ，因此

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=0.85y}$ 

接下来重新整理方程式，使${\displaystyle y}$ 在等式左边，${\displaystyle t}$ 在等式右边

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt}$ 

再将等式二边积分，会引入未知常数${\displaystyle B}$ 

${\displaystyle \ln |y|=0.85t+B}$ 

消去${\displaystyle \ln }$ 

${\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}}$ 

令${\displaystyle C}$ 为一个新的未知常数，${\displaystyle C=\pm e^{B}}$ ，因此

${\displaystyle y=Ce^{0.85t}}$ 

现在需要找出${\displaystyle C}$ 的数值。利用${\displaystyle y(0)=19}$ 的启始条件，将${\displaystyle t}$ 代入0，${\displaystyle y}$ 代入19

${\displaystyle 19=Ce^{0.85*0}}$ 

${\displaystyle C=19}$ 

因此可得其解为${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$ .

例二

${\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$ 

利用拉普拉斯变换

${\displaystyle sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}}$ 

${\displaystyle \therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}}$ 

利用部分分式分解

${\displaystyle Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}}$ 

${\displaystyle \alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1}$ 

${\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}}$ 

拉普拉斯逆变换

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}$ 

• 边值问题
• 柯西问题