部分分式分解

部分分式分解或部分分式展开（英语：Partial fraction decomposition），是将有理函数分解成许多次数较低有理函数和的形式，来降低分子或分母多项式的次数。分解后的分式需满足以下条件：

• 分式的分母需为不可约多项式（irreducible polynomial）或其乘幂。
• 分式的分子多项式次数需比其分母多项式次数要低。

例：

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}}.}$

分解后二分式的分母均为不可约多项式，分子次数比分母低，符合上述的条件。

简单来说，部分分式分解的目的是将以下型式的有理函数：

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$

其中 f 和 g 均为多项式，转换为以下的型式

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {a_{i}}{h_{i}(x)}}}$

其中 h_i 是 g(x) 的因式，次数较g(x)要低。因此一般会对g(x)作因式分解以得到所有的因式h_i。

部分分式分解和有理函数相加的作用恰好相反：数个有理函数相加后，会变成一个有理函数，但分子及分母都比原来的次数要高；而部分分式分解会将一个有理函数变为数个分子及分母次数较小的有理函数。

部分分式分解的主要目的是将有理函数变为数个较简单的有理函数，配合线性运算子处理时会比较方便。因此可以简化有理函数导数、反导数、积分、幂级数展开、傅立叶级数、留数或其他线性函数转换的计算。可以先针对每一个较简单的有理函数进行处理，之后再相加得到结果。例如部分分式积分法就依此方式计算反导数。

部分分式分解的结果会是许多分母为“不可约多项式”。不过什么样的多项式不可约，则是依使用标量所在的域来决定。例如若只允许实数的标量出现，不可约多项式则为一次或二次的多项式；若允许复数的标量出现，则所有不可约多项式则都为一次多项式；若只允许整数或其他有限体的标量，有些二次以上的多项式也可能是不可约多项式。