幂

运算法则

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$ 

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

${\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}$ 

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除(${\displaystyle b}$ 不为0)：

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$ 

其他等式

• ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}$ 
• ${\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle x^{1}=x\,\!}$ 
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}$ 

加法和乘法存在交换律，比如：${\displaystyle 2+3=5=3+2}$ ，${\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2}$ ，但是幂的运算不存在交换律，${\displaystyle 2^{3}=8}$ ，但是${\displaystyle 3^{2}=9}$ 。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：${\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}$ ，${\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)}$ 。不过，幂运算没有结合律：${\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}$ ，而${\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}$ ，所以${\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}}$ 。

但是幂运算仍然有其运算律，称为指数律：

• ${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$ 
• ${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$ 
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$ 
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}$ 
• ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}$ 
• ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$ 

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂

表达式${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$ 被称作${\displaystyle a}$ 的平方，因为边长为${\displaystyle a}$ 的正方形面积是${\displaystyle a^{2}}$ 。

表达式${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$ 被称作${\displaystyle a}$ 的立方，因为边长为${\displaystyle a}$ 的正方体体积是${\displaystyle a^{3}}$ 。

所以${\displaystyle 3^{2}}$ 读作“3的平方”，${\displaystyle 2^{3}}$ 读作“2的立方”。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如${\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}$ ，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

${\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}$ 

指数是1或者0

注意${\displaystyle 3^{1}}$ 表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意${\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}$ ，${\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}$ ，${\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}$ ，${\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}$ ，

继续，得到${\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}$ ，所以${\displaystyle 3^{0}=1}$ 

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则${\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}$ 

当${\displaystyle m=n}$ 时，${\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}$ 

• 任何数的1次方是它本身。

零的零次方

${\displaystyle 0^{0}}$  其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是${\displaystyle 0^{0}=1}$  ，在程式语言中（python） ${\displaystyle 0**0=1}$ 

在这里给出这一种极限的看法

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}$  于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

负数指数

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}$ 

对于非零${\displaystyle a}$ 定义

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ ,

而${\displaystyle a=0}$ 时分母为 0 没有意义。

证法一：

根据定义${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$ ，当${\displaystyle m=-n}$ 时

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,}$ 

得${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1}$ , 所以${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 。

证法二：

通过运算法则${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$ 

当${\displaystyle m=0}$ 时，可得${\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 

负数指数${\displaystyle a^{-n}}$ 还可以表示成1连续除以${\displaystyle n}$ 个${\displaystyle a}$ 。比如：

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$ .

特殊数的幂

10的幂

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：${\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}$ 

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 ${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$ ，近似值 ${\displaystyle 2.998\times 10^{8}}$  或 ${\displaystyle 3\times 10^{8}}$ 

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 ${\displaystyle 10^{3}}$ ，词头“毫”就是 ${\displaystyle 10^{-3}}$ 

2的幂

1的幂

1的任何次幂都为1。

0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是悬而未决的，某些领域下常用的惯例是约定为1。^[3]但某些教科书表示0的0次方为无意义。^[4]也有人主张定义为1。

负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当${\displaystyle a>1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to \infty }$ 

当${\displaystyle a<-1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to -\infty }$  或 ${\displaystyle \infty }$  , (视乎n 是奇数或偶数)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当${\displaystyle |a|<1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to 0}$ 

1的幂永远都是1

当${\displaystyle a=1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to 1}$ 

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当${\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}$ 

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
• 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根

一个数${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle n}$ 次方根是${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$ 使${\displaystyle x^{n}=a}$ 。

如果${\displaystyle a}$ 是一个正实数，${\displaystyle n}$ 是正整数，那么方程${\displaystyle x^{n}=a}$ 只有一个正实数根。 这个根被称为${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle n}$ 次方根，记作：${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ ，其中${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ 叫做根号。或者，${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle n}$ 次方根也可以写成${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}$ . 例如${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}$ 

当指数是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 时根号上的2可以省略，如：${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}$ 

有理数幂

有理数指数幂定义为

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ 

e的幂

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

指数函数的定义是：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ 

可以很简单地证明e的正整数k次方${\displaystyle e^{k}}$ 是：

${\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}}$ 

实数指数幂

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成^[5]：

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}$ 

例如：

${\displaystyle x\approx 1.732}$ 

于是

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$ 

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数${\displaystyle \ln {x}}$ 是指数函数${\displaystyle e^{x}}$ 的反函数。 它的定义是：对于任意${\displaystyle b>0}$ ，满足

${\displaystyle b=e^{\ln b}}$ 

根据对数和指数运算的规则：

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$ 

这就是实数指数幂的定义：

${\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}$ 

实数指数幂${\displaystyle b^{x}}$ 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

如果${\displaystyle a}$ 是负数且${\displaystyle n}$ 是偶数，那么${\displaystyle x=a^{n}}$ 是正数。如果${\displaystyle a}$ 是负数且${\displaystyle n}$ 是奇数，那么${\displaystyle x=a^{n}}$ 是负数。

使用对数和有理数指数都不能将${\displaystyle a^{k}}$ （其中${\displaystyle a}$ 是负实数，${\displaystyle k}$ 实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ （${\displaystyle n}$ 是奇数）可以使用${\displaystyle n}$ 次方根来计算，但是因为没有实数${\displaystyle x}$ 使${\displaystyle x^{2}=-1}$ ，对于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ （${\displaystyle n}$ 是偶数）时必须使用虚数单位${\displaystyle i}$ 。

使用对数的方法不能定义${\displaystyle a\leq 0}$ 时的${\displaystyle a^{k}}$ 为实数。实际上，${\displaystyle e^{x}}$ 对于任何实数${\displaystyle x}$ 都是正的，所以${\displaystyle \ln(a)}$ 对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数${\displaystyle a}$ 因为它依赖于连续性。函数${\displaystyle f(r)=a^{r}}$ 对于任何正的有理数${\displaystyle a}$ 是连续的，但是对于负数${\displaystyle a}$ ，函数${\displaystyle f}$ 在有些有理数${\displaystyle r}$ 上甚至不是连续的。

例如：当${\displaystyle a=-1}$ ，它的奇数次根等于-1。所以如果${\displaystyle n}$ 是正奇数整数，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}$ 当${\displaystyle m}$ 是奇数，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}$ 当${\displaystyle m}$ 是偶数。虽然有理数${\displaystyle q}$ 使${\displaystyle -1^{q}=1}$ 的集合是稠密集，但是有理数${\displaystyle q}$ 使${\displaystyle -1^{q}=-1}$ 的集合也是。所以函数${\displaystyle -1^{q}}$ 在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成复数，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

e的虚数次幂

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解${\displaystyle e^{ix}}$ （${\displaystyle x}$ 是实数），即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形${\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}$ （括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的${\displaystyle n}$ ，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于${\displaystyle {\frac {x}{n}}}$ 弧度。对于所有${\displaystyle k}$ ，三角形${\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}$ 互为相似三角形。所以当${\displaystyle n}$ 足够大时${\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}$ 的极限是复数平面上的单位圆上${\displaystyle x}$ 弧度的点。这个点的极坐标是${\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}$ ，直角坐标是${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$ 。所以${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ ，而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式${\displaystyle e^{z}=1}$ 的解是一个整数乘以${\displaystyle 2i\pi }$ ^[6]：

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$ 

更一般地，如果${\displaystyle e^{b}=a}$ ，那么${\displaystyle e^{z}=a}$ 的每一个解都可以通过将${\displaystyle 2i\pi }$ 的整数倍加上${\displaystyle b}$ 得到：

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$ 

这个复指数函数是一个有周期${\displaystyle 2i\pi }$ 的周期函数。

更简单的：${\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$ 。

三角函数

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$ 

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

${\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}$ 

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂

${\displaystyle e^{x+iy}}$ 可以分解成${\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}$ 。其中${\displaystyle e^{x}}$ 是${\displaystyle e^{x+iy}}$ 的模，${\displaystyle e^{iy}}$ 决定了${\displaystyle e^{x+iy}}$ 的方向

正实数的复数幂

如果${\displaystyle a}$ 是一个正实数，${\displaystyle z}$ 是任何复数，${\displaystyle a^{z}}$ 定义成${\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}$ ，其中${\displaystyle x=\ln(a)}$ 是方程${\displaystyle e^{x}=a}$ 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

${\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i}$ 

${\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i}$ 

${\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i}$ 

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}$ 

复数的虚数幂

让我们从一个简单的例子开始：计算${\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}$ 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}$ 的得法参见上文正实数的复数幂

复数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算${\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}$ ：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$ 

一般情况

复数的复数幂必须首先化为底数为${\displaystyle e}$ 的形式：

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}$ 

又，由复数的极坐标表示法：

${\displaystyle w=re^{i\theta }}$ 

故

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}$ 。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角${\displaystyle \theta }$ 的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

当函数名后有上标的数（即函数的指数），一般指要重复它的运算。例如${\displaystyle f^{3}(x)}$ 即${\displaystyle f(f(f(x)))}$ 。特别地，${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 指${\displaystyle f(x)}$ 的反函数。

但三角函数的情况有所不同，一个正指数应用于函数的名字时，指答案要进行乘方运算，而指数为-1时则表示其反函数。例如：${\displaystyle (\sin x)^{-1}}$ 表示${\displaystyle \csc x}$ 。因此在三角函数时，使用${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ 来表示${\displaystyle \sin x}$ 的反函数${\displaystyle \arcsin x}$ 。

最快的方式计算${\displaystyle a^{n}}$ ，当${\displaystyle n}$ 是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}$ ，比普通算法快（a自乘100次，时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}$ ），在${\displaystyle n}$ 较大的时候更为显著。

例如计算${\displaystyle a^{100}}$ ，普通算法需要算100次，上述算法则只需要算7次。若要计算${\displaystyle a^{n}(n<0)}$ 可先以上述算法计算${\displaystyle a^{|n|}}$ ，再作倒数。

• 迭代幂次

• 指数的历史