迭代幂次

对于任何正实数a (${\displaystyle a>0}$ )及非负整数n (${\displaystyle n\geq 0}$ )，${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$ 被定义为：

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$ 

从上述定义中可见，当计算被表达成幂塔的迭代幂次时，幂运算是先由最深层（以符号来表示，则最高级）的上标数做起。例子如下：

${\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left[2^{\left(2^{2}\right)}\right]}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}$ 

要注意，幂是不遵从结合律的，因此以其他顺序来计算上述表达式将会出现不一样的答案，例如：

${\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left[{\left(2^{2}\right)}^{2}\right]^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256}$ 

因此，幂塔一定要从上而下（或从右至左）来运算。在计算机程序中，此制式称为右结合律。

当a与n为互质时，我们可以透过欧拉定理来计算${\displaystyle \scriptstyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$ 的最后m个小数位值。

迭代幂次在英文里面称作tetration，有时亦会被称为superexponentiation及hyperpower（中文意译超幂）等，这些词语也可被用来表示这种运算模式。

迭代幂次有时会跟一些相关的函数及表达式混淆，这是因为在这些函数及表达式当中的大部分专门用语均适用于迭代幂次。以下列举了一些相关用语：

形式	用语
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$	迭代幂次
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$	迭代指数
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$	指数群 （亦作指数塔）
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$	无穷指数 （亦作无穷指数塔）

在首两种表达式当中的a 是底数，而a 出现的数目则是高度值（x 的出现使高度值 加1）。在第三种表达式当中，n 是高度值，但每一个底皆不相同。

要注意的是，迭代指数的形式有时也会被称为迭代幂次。这是模棱两可的，因为这可以指迭代乘方或迭代指数。

可以用来表示迭代幂次的符号有很多，当中有一些符号可用来表示更高级的迭代运算（hyper-5、hyper-6 等等）。

名称	形式	描述
标准符号记法	${\displaystyle \,{}^{n}a,a[4]n}$	Maurer及Goodstein分别于1901年及1947年使用此记法，其后由美国数学家鲁迪·拉克于其著作"Infinity and the Mind"中将这个记法普及化。
高德纳箭号表示法	${\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}$	允许加上更多箭号，乃至在箭号的右上方标上正整数n（↑n），以作推广。
康威链式箭号表示法	${\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}$	允许把2 改成更大的整数以作推广（同上述推广法），亦可透过延长链式来作出推广。
阿克曼函数	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	底数为2（${\displaystyle a=2}$ ）的情况下可写成阿克曼函数式。
迭代指数表示法	${\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}$	迭代指数可以为1以外的数字。
Hooshmand符号记法[1]	${\displaystyle \operatorname {uxp} _{a}n,\,a^{\frac {n}{}}}$
超运算符号	${\displaystyle a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)}$	允许把4改为更大的整数，以表示更高级数的超运算
ASCII符号	a^^n	由于上箭号的用法跟脱字符（^）一样，迭代幂次运算符可写成（^^）。同样允许更多^连续表示；

上述的迭代指数表示法中使用的迭代指数记号，一般被定义成：

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$ ，当中包含n 个a。

以下是一些用以表示迭代指数的符号：

名称	形式	描述
标准符号记法	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	欧拉创造了符号${\displaystyle \exp _{a}(x)}$ 来表示${\displaystyle a^{x}}$ ，设${\displaystyle f(x)=\exp _{a}(x)}$ ，则${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$ 可表示成迭代函数${\displaystyle f^{n}(x)}$ 。
高德纳箭号表示法	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}$	允许增加箭号的数目用以表示超幂（迭代幂次）和超指数（迭代指数），在大数一条目中常被用到。
Ioannis Galidakis符号记法	${\displaystyle \,{}^{n}(a,x)}$	底数部分可以改成较长的表达式。[2]
ASCII（辅助）	a^^n@x	以迭代指数作为迭代幂次的辅助函数。
ASCII（标准）	exp_a^n(x)	基于标准符号记法。
J符号记法	x^^:(n-1)x	重复幂次。详见J语言[3]

在下表，大部分数值大得连科学记数法也难以表示，因此使用了迭代指数记号，设底数为10来表示。包含小数点的数值是近似值。

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$
1	1	1	1
2	4	16	65,536
3	27	7,625,597,484,987	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1.09902)}$
4	256	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(2.18788)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}$
5	3,125	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(3.33931)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}$
6	46,656	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}$
7	823,543	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}$
8	16,777,216	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}$
9	387,420,489	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}$
10	10,000,000,000	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$

多项式逼近法

线性逼近法

以下是对迭代幂次函数的线性逼近法（以满足连续函数的需要性，逼近法基于此函数的可微性质）的定义：

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}(^{x+1}a)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$ 

由此可得：

逼近法	定义域
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx x+1}$	for ${\displaystyle -1<x<0}$
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{x}}$	for ${\displaystyle 0<x<1}$
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	for ${\displaystyle 1<x<2}$

及其他逼近值。不过，这个函数只是分段可微的；在x为整数的时候，函数的导数要乘以${\displaystyle \ln {a}}$ 。

例子

${\displaystyle {\begin{aligned}{}^{{\frac {1}{2}}\pi }e&\approx 5.868...,\\{}^{-4.3}0.5&\approx 4.03335...\end{aligned}}}$ 

Hooshmand的手稿中有一个重要定理^[1]：设${\displaystyle 0<a\neq 1}$ 。若${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$  是连续的并满足以下条件：

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$ ,
• ${\displaystyle f}$  于 ${\displaystyle (-1,0)}$  之上可微；
• ${\displaystyle f^{\prime }}$  在 ${\displaystyle (-1,0),}$  之上是一个单调函数；
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-}){\mbox{ or }}f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-}).}$ 

由此，${\displaystyle f}$  可于以下方程式中独特地定义出来：

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{x})=\exp _{a}^{[x+1]}(x)\quad {\mbox{for all}}\;\;x>-2}$ ，

当中，${\displaystyle (x)=x-[x]}$  标示x的分数部分，以及${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$  是函数${\displaystyle \exp _{a}}$  的${\displaystyle [x]}$ -迭代函数。

以上四个条件中的第二个条件仅当${\displaystyle f}$  在[-1, 0]之上是线性函数，由此可作为上述对${\displaystyle f}$  的定义的证明。

对自然迭代幂次函数${\displaystyle {}^{x}e}$  的线性逼近法是连续可微的，但其二阶导数的辐角并不是整数值。Hooshmand为此导出了以下的这一个独特定理：

若${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$  是一个连续函数并满足以下条件:

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$ ；
• ${\displaystyle f}$  于${\displaystyle (-1,0)}$  之上是凸函数；
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).}$ 

那么${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$ 。（这里的${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$  是Hooshmand给予自然迭代幂次函数的线性逼近法的名称。）

这个定理的证明跟之前提到的证明法十分相似；递回方程式保证了${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$  ，而${\displaystyle f}$  的凸函数的性质仅当${\displaystyle f}$  在(-1, 0)之上是线性的。

所以，自然迭代函数的线性逼近法是凸于${\displaystyle (-1,+\infty )}$  之上的方程式${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$  的唯一解。所有其他充足可微的解在区间(-1, 0)之上必定存在一个拐点。

更高次的逼近法

以下是对a ≠ e的迭代幂次函数的二次逼近法（逼近法基于此函数的可微性质）的定义：

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\{\frac {-\log(a)\;+\;{\sqrt {x[1\;-\;\log(a)^{2}]\;+\;1}}}{1\;-\;\log(a)}}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$ 

这对所有${\displaystyle x>0}$  可微，但并不二次可微。若${\displaystyle a=e}$ ，应采用线性逼近法。

有关于三次逼近法，以及一个能归纳出n 次逼近法的方法，详见：^[4]。

迭代幂次能被推广至定义${\displaystyle {^{n}0}}$  乃至其他定义域。

对底数定义域的推广

推广至底数为0

指数${\displaystyle 0^{0}}$  是不连续定义的。所以，迭代幂次${\displaystyle \,{^{n}0}}$  于早期提出的公式中亦并不被清晰定义。不过，${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{^{n}}x}$  是定义良好的，并存在：

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\mbox{ even}}\\0,&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$ 

所以我们能连续地定义${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ 。这等价于定义${\displaystyle 0^{0}=1}$ 。

在这推广之下，${\displaystyle {}^{0}0=1}$ ，所以最初定义出来的法则${\displaystyle {^{0}a}=1}$  依然成立。

推广至复数底

由于复数可以作为指数，迭代幂次的底数可以为${\displaystyle \scriptstyle z\;=\;a+bi}$  的形式，当中的${\displaystyle \scriptstyle i}$  是−1的平方根。举例来说，设${\displaystyle \scriptstyle z\;=\;i}$ ，对于${\displaystyle \scriptstyle {}^{n}z}$ ，其迭代幂次可由自然对数中的主枝（英语：Principal branch）来达成，并用欧拉公式得出以下关系：

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$ 

这表明了${\displaystyle \scriptstyle {}^{(n+1)}i\;=\;a'+b'i}$  在任何${\displaystyle \scriptstyle {}^{n}i\;=\;a+bi}$  的情况下的递回定义为：

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$ 

从而导出以下的逼近值：

${\displaystyle {}^{n}i}$	逼近值
${\displaystyle {}^{1}i=i}$	i
${\displaystyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	${\displaystyle 0.2079}$
${\displaystyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	${\displaystyle 0.9472+0.3208i}$
${\displaystyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	${\displaystyle 0.0501+0.6021i}$
${\displaystyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	${\displaystyle 0.3872+0.0305i}$
${\displaystyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	${\displaystyle 0.7823+0.5446i}$
${\displaystyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	${\displaystyle 0.1426+0.4005i}$
${\displaystyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	${\displaystyle 0.5198+0.1184i}$
${\displaystyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	${\displaystyle 0.5686+0.6051i}$

根据上一部分对于迭代幂次的逆向关系的定义，可得${\displaystyle \scriptstyle \,{}^{0}i\;=\;1}$  及${\displaystyle \scriptstyle \,{}^{(-1)}i\;=\;0}$ ，当中负值的n 在虚数轴上会得出无穷的结果。在复平面当中，整个序列成螺旋形地趋向于极限${\displaystyle 0.4383+0.3606i}$ ，这个极限可理解为n 为无穷时，函数相对应的值。

这样的迭代幂次序列由欧拉时期已开始被研究，但是由于序列的杂乱性而难以被理解。历史上大部分有正式发表的研究皆集中于幂塔函数的收敛性。高运算效率电脑连同计算机代数系统和分形几何系统的出现大大地促进了近代对于迭代幂次的研究。现时对迭代幂次的研究均建基于复动力学的普遍知识及对指数映射的专门研究。

对高度值定义域的推广

推广至无穷高

迭代幂次可被推广至无穷高（${\displaystyle {}^{n}a}$  当中的n）。这是因为当底数在一个特定的区间之内而高度值趋向于无穷时，迭代幂次会收敛于一个有限的数值。举例来说，${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$  收敛于2，因此可以说是等于2。对2的趋向性可从对以下小型有限幂塔的计算而看出来：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&={\sqrt {2}}^{1.89}\\&=1.93\end{aligned}}}$ 

一般来说，有限幂塔${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$  （定义为当n 趋向于无穷时${\displaystyle {}^{n}x}$  的极限）收敛于e^−e ≤ x ≤ e^1/e，大约是位于0.066和1.44之间的区间，这是由莱昂哈德·欧拉所证明的。如果存在一个极限，这会是一个对于方程式y = x^y 的正实数解。所以，x = y^1/y。根据这个极限的定义，当x > e^1/e 时，x 的无穷迭代幂次不具收敛性，因为y^1/y 的最大值为e^1/e。

以上特性可以被推广至复数底z，定义如下：

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}$ 

当中的W（z）表示朗伯W函数。

由于极限y = ^∞x （如果存在的话，即当e^−e < x < e^1/e）必定满足x^y = y，因而得出x ↦ y = ^∞x 是y ↦ x = y^1/y 的反函数（较低枝）。

（有限地）推广至负高

为了维持原有法则：

${\displaystyle {^{(k+1)}a}=a^{({^{k}a})}}$ 

当${\displaystyle k}$  为负值时，必须用到以下的递回关系：

${\displaystyle {^{k}a}=\log _{a}\left({^{(k+1)}a}\right)}$ 

所以：

${\displaystyle {}^{(-1)}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$ 

不过，当高度值为更小的负值时就不能以此方法良好地定义出来了，因为

${\displaystyle {}^{(-2)}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}$ 

这是定义不良好的。

更要注意的是，当${\displaystyle a=1}$  时，任何根据法则对于${\displaystyle \,\!{^{(-1)}1}}$  的定义都是一致的，因为

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$  对于任何 ${\displaystyle \,\!n={^{(-1)}1}}$ 。

推广至实高

当前还未有对于推广迭代幂次至${\displaystyle n}$  为实数或复数值的共识解。以下提到了两种不同的逼近法。

一般来说，问题在于对任何实数a > 0，找出一个能满足以下条件的超幂函数 ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$  ，当中${\displaystyle x>-2}$  并为实数：

• ${\displaystyle \,{}^{(-1)}a=0}$ 
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$ 
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}}$  对所有实数x > -1。
• 第四个条件通常为以下其中一个：

• A的连续性 需要（通常是指在a 和x 皆可变时，${\displaystyle {}^{x}a}$  为连续，当中${\displaystyle x>0}$ ）。
• A的可微性 需要（可以是对于x 一次、二次、k 次，或是无穷可微）。
• A的规律性 需要（仅当对于x 二次可微），即是：

${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$  对于所有${\displaystyle x>0}$ 

对于第四个条件，不同的编者有不同的说法，而且亦视乎于采用何种逼近法。对于把迭代幂次推广至实高，有两种主要的逼近法，一种是建基于规律性 需要，另一种则建基于可微性 需要。这两种逼近法似乎十分相异，皆因它们所得出的结果并不相符。

幸运地，任何在一段长度的区间内满足到其中一种逼近法的解，皆能被推广为一个对于所有正实数高度值的迭代幂次的通解。当${\displaystyle \,{}^{x}a}$  在一段长度的区间内被定义，对任何${\displaystyle x>-2}$ ，整个函数的后续将能被轻易地定义出来。

其中一个简单的推广方式为：

${\displaystyle a[n]b=c}$ 

当且仅当${\displaystyle c[n]({\frac {1}{b}})=a,n>1}$  ^[5]。可以判断，当${\displaystyle n=2}$ 、${\displaystyle n=3}$ 时，乘法和幂次成立：${\displaystyle a\times b=c}$  当且仅当${\displaystyle c\times ({\frac {1}{b}})=a}$ ;${\displaystyle a^{b}=c}$  当且仅当${\displaystyle c^{\frac {1}{b}}=a}$ 

举例，当${\displaystyle n=4}$  时, 计算 ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256}$  和 ${\displaystyle {}^{\frac {3}{4}}256}$  ： ${\displaystyle {}^{2}4=4^{4}=256}$ , 则 ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256=4}$ 。 ${\displaystyle {}^{3}2={2}^{{2}^{2}}=16}$ ,则${\displaystyle {}^{\frac {1}{3}}16=2}$ ； 由 256= 16^2 = 16^(16^^(1/3)) = 16^^(1+1/3) = 16^^(4/3) 得 256^^(3/4) = 16。

推广至复高

以下为有关猜想^[6]：函数F 为方程式F(z+1)=exp(F(z)) 的解并满足以下附加条件：当z逼近于±i ∞及F 在整个复数z 平面当中为全纯函数，F(0)=1 及F(z)逼近于对数的不动点 （大约为 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890i）。

• 阿克曼函数
• 超运算

• Daniel Geisler, tetration.org （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals （页面存档备份，存于互联网档案馆） (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two （页面存档备份，存于互联网档案馆）, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235-252.
• Hans Maurer. "Über die Funktion ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$  für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50. (Reference to usage of ${\displaystyle \ {^{n}a}}$  from Knobel's paper.)
• Marco Ripà, "La strana coda della serie n^n^...^n", Trento (2011). 编辑
  • Andrew Robbins' site on tetration
  • Daniel Geisler's site on tetration （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • Tetration Forum （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • tetration at citizendium （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • Gottfried Helms' site on tetration （页面存档备份，存于互联网档案馆）