符号史
主条目:根号
最早的根号“√”源于字母“r”的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。形成了现在所熟悉的开方运算符号 。
考虑在计算机中的输入问题,有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。
基本运算
带有根号的运算可由如下公式推导而得:
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这里的a和b是正数。
对于所有的非零复数 ,有 个不同的复数 使得 ,所以符号 就会出现歧义(通常这样写是取 个值当中主幅角最小的)。 次单位根是特别重要的。
当一个数从根号形式变换到幂形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是
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例如:
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若要做加法或减法,需考虑下列的概念。
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若已可以简化根式表示式,则加法和减法就只是群的“同类项”问题。
例如
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不尽根数
未经化简的根数,一般叫做“不尽根数”(surd),可以处理为更简单的形式。
如下恒等式是处理不尽根数的基本技巧:
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无穷级数
方根可以表示为无穷级数:
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找到所有的方根
任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式 (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:
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对于 ,这里的 表示 的主 次方根。
正实数
所有 或 的 次方根,这里的 是正实数,的复数解由如下简单等式给出:
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对于 ,这里的 表示 的主 次方根。
解多项式
曾经有数学猜想,认为多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程
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的解不能用根号表达。
要解任何n次方程,参见求根算法。
算法
对于正数 ,可以通过以下算法求得 的值:
- 猜一个 的近似值,将其作为初始值
- 设 。记误差为 ,即 。
- 重复步骤2,直至绝对误差足够小,即: 。
从牛顿法导出
求 之值,亦即求方程 的根。
设 ,其导函数即 。
以牛顿法作迭代,便得
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从牛顿二项式定理导出
设 为迭代值, 为误差值。
令 (*),作牛顿二项式展开,取首两项:
调项得
将以上结果代回(*),得递归公式
参见
外部链接