2的12次方根

2的12次方根是一个代数无理数,计为,是方程式的正实根。它是音乐理论中的一个重要常数,它代表了十二平均律半音频率比。

2的12次方根
2的12次方根
数表无理数
      
命名
数字
名称2的12次方根
识别
种类无理数
符号
位数数列编号OEISA010774
性质
以此为的多项式或函数
表示方式
1.05946309...
二进制1.00001111001110001111100100101101
十进制1.05946309435929526456182529494634
十六进制1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B84

数值

 的近似值为1.0594630943593,其值略高于 [1] ≈ 1.0588。更好的近似值为  ≈ 1.059459或  ≈ 1.0594630948。

性质

  • 方程式 的正实根
  • 超体积为2的12维超立方体之边长
  • 其值约为1.0594630943593 (OEIS数列A010774
  • 连分数为:
     OEIS数列A103922

半音音阶

因为音程是频率的比例,等于平均律半音音阶划分八度(具有2:1的比例)成12等份。

利用此比值,以半音音阶的音调从最接近且高于中央C的A以频率440开始,产生音高的顺序与波的频率如下:

音符
 
频率
Hz
倍率
 
系数
(六处)
A 440.00 20/12 1.000000
A/B 466.16 21/12 1.059463
B 493.88 22/12 1.122462
C 523.25 23/12 1.189207
C/D 554.37 24/12 1.259921
D 587.33 25/12 1.334839
D/E 622.25 26/12 1.414213
E 659.26 27/12 1.498307
F 698.46 28/12 1.587401
F/G 739.99 29/12 1.681792
G 783.99 210/12 1.781797
G/A 830.61 211/12 1.887748
A 880.00 212/12 2.000000

最终的A(880 Hz)的频率为初始的A(440 Hz)的两倍,也就是说,他们差了八度

间距调整

由于一个半音的频率比接近106%,一个录音的播放速度增加或减慢6%将会使音高向上或向下一个半音移位“半步”。

参见

参考文献

  1. ^ 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学
  • Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
  • Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X