圆幂定理

平面上任意一点 P ，以及半径为 r 、圆心为 O 的圆，则定义圆幂 h 为：

${\displaystyle h=s^{2}-r^{2}}$  ，

其中 s = OP 。^[1]

从这个定义可知，若 P 在圆内，则圆幂为负数；若 P 在圆外，则圆幂为正数；若 P 在圆周上，则有圆幂等于零。

圆幂又可等价地定义为：从该点穿过圆心的割线，与圆所作的两个交点，与该点距离的乘积。也就是说：

${\displaystyle h=PA\cdot PB}$  。

理由如下：

${\displaystyle PA\cdot PB=(s-r)(s+r)=s^{2}-r^{2}=h}$ 。

圆幂定理有三个变体，分别是“交弦定理”、“割线定理”及“切割线定理”。^[2]

交弦定理

设有一圆，圆上有两条弦 AB 及 CD，它们相交于 E，则有

${\displaystyle EA\cdot EB=EC\cdot ED}$ 

这个乘积，是 P 的圆幂的相反数 −h。这是因为圆幂为非正数，而线段的乘积为正数。

割线定理

设有一圆，圆外有一点 P，引出两条割线，分别与圆相交于 A、B 以及 M、N，则有

${\displaystyle PA\cdot PB=PM\cdot PN}$ 

这个乘积，是 P 的圆幂 h。

切割线定理

设有一圆，圆外有一点 P，引出一条割线，与圆相交于 A、B ，又引出一条切线，与圆相切于 T，则有

${\displaystyle PA\cdot PB={PT}^{2}}$ 

这个乘积，同样是 P 的圆幂 h。

交弦定理

从同弓形内圆周角的性质可知，ΔAED 与 ΔCEB 是相似三角形，因此

${\displaystyle {\frac {EA}{EC}}={\frac {ED}{EB}}}$ 

整理可得

${\displaystyle EA\cdot EB=EC\cdot ED}$ 

证明完毕。

割线定理

从同弓形内圆周角的性质可知，ΔPAM 与 ΔPNB 是相似三角形，因此

${\displaystyle {\frac {PA}{PM}}={\frac {PN}{PB}}}$ 

整理可得

${\displaystyle PA\cdot PB=PM\cdot PN}$ 

证明完毕。

切割线定理

从内错弓形圆周角的性质可知，ΔPAT 与 ΔPTB 是相似三角形，因此

${\displaystyle {\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}}$ 

整理可得

${\displaystyle PA\cdot PB={PT}^{2}}$ 

证明完毕。

• 根轴——到两圆圆幂相等的点的轨迹