根轴

根轴(英语:radical axis)是由两个唯一确定的,与两圆连心线垂直的直线,其定义为关于两圆的圆幂相等的点的轨迹

性质

几何形状及其位置的确定

令向量   分别为根轴上的点  、两圆圆心  的位置。则根轴的“曲线”方程为:

 

 
 
 的定义和计算

从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因 内积大小仅由  方向的分量决定,所以根轴是一条垂直于连心线的直线。

根轴在连心线上的垂足 与圆心  的距离  分别满足
 ,
其中  .

如果两圆相交,则根轴为它们交点的连线;如果两圆相切,则根轴为它们的切线[1]:27

根心

定义

三个圆能画出三条根轴,这三条根轴交于一点,称为三个圆的根心,若三个圆的圆心共线,则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点[1]:27

存在性的证明

考虑三圆   两两构成的三条根轴。令   根轴以及  根轴的交点。有

  

其中 表示点 关于圆 的幂。

则知点 关于  的圆幂都相等,因此它在第三条根轴上,换言之,三条根轴共点,存在根心。

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Chen, Evan. 2.3 The Radical Axis and Radical Center (PDF). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 26–30. ISBN 978-1-61444-411-4. MR 3467691. 

外部链接