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根轴(英语:radical axis)是由两个圆唯一确定的,与两圆连心线垂直的直线,其定义为关于两圆的圆幂相等的点的轨迹。
性质
几何形状及其位置的确定
令向量 、 、 分别为根轴上的点 、两圆圆心 、 的位置。则根轴的“曲线”方程为:
-
即
-
的定义和计算
从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因 内积大小仅由 在 方向的分量决定,所以根轴是一条垂直于连心线的直线。
根轴在连心线上的垂足 与圆心 、 的距离 、 分别满足
,
其中 .
如果两圆相交,则根轴为它们交点的连线;如果两圆相切,则根轴为它们的切线[1]:27。
根心
定义
三个圆能画出三条根轴,这三条根轴交于一点,称为三个圆的根心,若三个圆的圆心共线,则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点[1]:27。
存在性的证明
考虑三圆 、 、 两两构成的三条根轴。令 为 、 根轴以及 、 根轴的交点。有
- , ,
其中 表示点 关于圆 的幂。
则知点 关于 和 的圆幂都相等,因此它在第三条根轴上,换言之,三条根轴共点,存在根心。
参考资料
外部链接