李雅普诺夫函数(Lyapunov function)是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫(Александр Михайлович Ляпунов)。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。
若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性,此函数称为李雅普诺夫候选函数(Lyapunov-candidate-function)。不过目前还找不到一般性的方式可建构(或找到)一个系统的李雅普诺夫候选函数,而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动力系统中,有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。
针对自治系统的李雅普诺夫定理,直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时,此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件,不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气,通常会用试误法(trial and error)来寻找李雅普诺夫函数。
李雅普诺夫候选函数的定义
令
-
为标量函数。
若要 为李雅普诺夫候选函数,函数 需为局部正定函数,亦即
-
-
其中 是 的邻域。
系统平衡点的变换
令
-
-
为一个自治的动力系统,其平衡点为 :
-
可利用 的坐标变换,使得
-
-
在新的系统 中,其平衡点为原点。
若系统的平衡点不是原点,可用上述的方式,变换为另一个平衡点为原点的系统,因此以下的说明中,均假设原点是系统的平衡点。
自治系统的基本李雅普诺夫定理
令
-
为以下自治系统的平衡点
-
且令
-
为李雅普诺夫候选函数 的时间导数。
稳定平衡点
若在平衡点的邻域 ,李雅普诺夫候选函数 为正定,且其时间导数半负定:
-
则此平衡点为一稳定的平衡点。
局部渐近稳定平衡点
若在平衡点的邻域 ,李雅普诺夫候选函数 为正定,且其时间导数为负定:
-
则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。
全域渐近稳定平衡点
若李雅普诺夫候选函数 为全域正定,其时间导数为全域负定:
-
且 满足以下的条件(称为“径向无界” radially unbounded):
- .
则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。
参见
参考资料
- 埃里克·韦斯坦因. Lyapunov Function. MathWorld.
- Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996.
- 本条目含有来自PlanetMath《Lyapunov function》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。
- 李雅普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域,尤其是随机微扰的非线性系统: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. 编辑