李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数Lyapunov function)是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫(Александр Михайлович Ляпунов)。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性,此函数称为李雅普诺夫候选函数Lyapunov-candidate-function)。不过目前还找不到一般性的方式可建构(或找到)一个系统的李雅普诺夫候选函数,而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动力系统中,有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。

针对自治系统的李雅普诺夫定理,直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时,此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件,不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气,通常会用试误法(trial and error)来寻找李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫候选函数的定义

 

标量函数。
若要 为李雅普诺夫候选函数,函数 需为局部正定函数,亦即

 
 

其中   邻域

系统平衡点的变换

 
 

为一个自治动力系统,其平衡点为 :

 

可利用  的坐标变换,使得

 
 

在新的系统   中,其平衡点为原点。

若系统的平衡点不是原点,可用上述的方式,变换为另一个平衡点为原点的系统,因此以下的说明中,均假设原点是系统的平衡点。

自治系统的基本李雅普诺夫定理

 

为以下自治系统的平衡点

 

且令

 

为李雅普诺夫候选函数 的时间导数。

稳定平衡点

若在平衡点的邻域 ,李雅普诺夫候选函数 为正定,且其时间导数半负定:

 

则此平衡点为一稳定的平衡点。

局部渐近稳定平衡点

若在平衡点的邻域 ,李雅普诺夫候选函数 为正定,且其时间导数为负定:

 

则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。

全域渐近稳定平衡点

若李雅普诺夫候选函数 为全域正定,其时间导数为全域负定:

 

 满足以下的条件(称为“径向无界” radially unbounded):

 .

则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。

参见

参考资料

  • 埃里克·韦斯坦因. Lyapunov Function. MathWorld. 
  • Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996. 
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  • 李雅普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域,尤其是随机微扰的非线性系统: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. 编辑