李雅普诺夫稳定性

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考虑到针对非线性系统修改稳定理论，修正为以一个稳定点线性化的系统为基础的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

给定一个完备的赋范向量空间E（例如${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ），设U是E的开子集。考虑一个自治的非线性动力系统：

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(t_{0})=x_{0}}$ ,

其中${\displaystyle x(t)\in U}$ 是系统的状态向量，${\displaystyle f:U\rightarrow E}$ 是U上的连续函数。

假设函数f有一个零点：f(a) = 0，则常数函数：x = a是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称a是动力系统的平衡点。

1. 称点a李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果对每个${\displaystyle \epsilon >0}$ ，均存在${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ，使得对所有满足${\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }$ 的${\displaystyle x_{0}}$ ，只要${\displaystyle t\geqslant t_{0}}$ ，就有${\displaystyle \|x(t)-a\|<\epsilon }$ 。
2. 称点a渐近稳定，如果点a李雅普诺夫稳定，且存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对所有满足 ${\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }$  的${\displaystyle x_{0}}$ ，${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a}$ 。
3. 称点a指数稳定，如果点a渐近稳定，且存在 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0}$  使得对所有满足${\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }$ 的${\displaystyle x_{0}}$ ，只要${\displaystyle t\geqslant t_{0}}$ ，就有${\displaystyle \|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}}$ 。

它们的直观几何意义是：

1. 平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里（距平衡点的距离不超过任意选择的正实数 ${\displaystyle \epsilon }$ ）。
2. 渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。
3. 指数稳定的意思是，状态函数不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于某种指数递减的速度。

设有状态函数x，其初始取值为${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ 。称${\displaystyle {\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}}$ 为x的轨迹。如果对所有初始值与x足够接近的状态函数y，两者的轨迹会趋于相同：

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|y(t)-x(t)\|\longrightarrow 0.}$ 

则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述条件对所有y均成立，则称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且稳定，则x渐近稳定。不过，x有吸引性不表示它的轨迹渐近稳定。

离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。

给定度量空间${\displaystyle (X,d)}$ 。设${\displaystyle f\colon X\to X}$ 为一连续函数。称点${\displaystyle a\in X}$ 为李雅普诺夫稳定，如果对任意${\displaystyle \epsilon >0}$ ，都存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得只要${\displaystyle x\in X}$ 满足${\displaystyle d(x,a)<\delta }$ ，就有

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;d(f^{n}(x),f^{n}(a))<\epsilon .}$ 

称点a渐近稳定，如果a是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得只要${\displaystyle x\in X}$ 满足${\displaystyle d(x,a)<\delta }$ ，就有

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(f^{n}(x),f^{n}(a))=0}$ 

对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。

李雅普诺夫稳定性第二定理

考虑一个函数 V(x) : Rⁿ → R 使得

• ${\displaystyle V(x)\geq 0}$  只有在 ${\displaystyle x=0}$  处等号成立（正定函数）
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x(t))<0}$  （负定）

则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。

上式中 ${\displaystyle V(0)=0}$  是必要的条件。否则，${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$ 可以用来“证明” ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$ 有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。

此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。

例如考虑以下的系统

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}\,}$ 

希望用李雅普诺夫函数来确认${\displaystyle x=0\,}$ 附近的稳定性。令

${\displaystyle V(x)=0.5x^{2}\,}$ 

${\displaystyle V(x)}$ 本身为正定函数．而V(x)的导函数如下

${\displaystyle {\dot {V}}(x(t))={\partial V \over \partial x}(-x^{3})=-x^{4}\,}$ 

为负定函数，因此上述系统在${\displaystyle x=0\,}$ 附近为渐近稳定。

一个线性的状态空间模型

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$ 

为渐近稳定（其实是指数稳定），若

${\displaystyle A^{T}M+MA+N=0}$ 

的解存在。

其中 ${\displaystyle N=N^{T}>0}$  且 ${\displaystyle M=M^{T}>0}$  （正定矩阵）。（对应的李雅普诺夫函数为${\displaystyle V(x)=x^{T}Mx}$ ）

一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f(x,u)}}}$ 

其中输入 u(t) 可视为控制、外部输入、扰动、刺激或外力。这种系统的研究是控制理论研究的主题之一，也应用在控制工程中。

对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在线性系统中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在非线性系统中则会使用输入-状态稳定性。

• 李亚普诺夫函数
• 摄动理论
• 拉萨尔不变集原理

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• Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966
• Zakhama, R.; Hadj Brahim, A.B.B.; Braiek, N.B. Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems. Computational and Applied Mathematics. October 2016, 37: 1130–1141. doi:10.1007/s40314-016-0388-7. 
• https://web.archive.org/web/20090703102428/http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab