拉萨尔不变集原理

拉萨尔不变集原理(LaSalle's invariance principle)也称为不变集原理(invariance principle)[1]Barbashin-克拉索夫斯基-拉萨尔原理(Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle)[2]克拉索夫斯基-拉萨尔原理(Krasovskii-LaSalle principle),是自治动力系统(可能是非线性系统李雅普诺夫稳定性的判断准则。

全域稳定性版本

考虑以下方程式的系统

 

其中 为符合以下条件的变数向量

 

若可以找到  函数  ,使下式成立

 针对所有 (半负定)

则任何轨迹中聚点(accumulation point)的集合都在 内,  是其完整轨迹完全在 集合的联集。

 函数又有正定的性质,即

 ,针对所有的 
 

而且 除了  for  的平凡轨迹外,未包括其他轨迹,则原点为李雅普诺夫稳定性

再者,若 是径向无界(radially unbounded)

 时, 

原点为全域渐近稳定

局部稳定性版本

 ,当 
 

 在原点的邻域 内才成立,且集合

 

除了 的轨迹外,不包括其他系统的轨迹,则依照拉萨尔不变集原理的局部稳定版本,原点有局部的渐近稳定性

和李雅普诺夫稳定性的关系

If  负定,则原点的全域渐进稳定是李雅普诺夫第二定理的结果。若 只是半负定,不变集原理也是判断渐近稳定性的准则。

例子:有摩擦力的单摆

此段落会用不变集原理来确立简单系统的区部渐近稳定性。此系统的微分方程如下[1]

 

其中 是单摆的角度,以垂直往下的角度为0度, 是单摆的质量, 摩擦系数g是因重力产生的加速度。

因此可以将系统方程式表示如下

 
 

利用不变集原理,可以证明一定大小的球体,若初始位置在原点附近 ,可以证明其所有的轨迹都会渐近收敛到原点。定义 

 

 即为系统的能量[2] 在原点附近,半径 的开球体内为正定。计算其导数

 

可观察到 。若 成立,可以依李雅普诺夫第二定理得到所有轨迹都会到达原点的结论。不过很可惜,  只是半负定。不过,以下集合

 

也就是

 

除了平凡轨迹x = 0外,不包括系统内的任何轨迹。若在特定时间  ,  ,则因为 必需小于 ,则  。因此,轨迹不会停留在集合 内。

不变集原理的所有条件都满足,也可以下结论说:所有在原点附近的轨距,当 时,最后都会收敛到原点[3]

历史

此结果是由约瑟夫·皮尔·拉萨尔英语J.P. LaSalle(在RIAS英语Research Institute for Advanced Studies)及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基英语Nikolai Nikolaevich Krasovsky两人独立发现,两人分别在1960年及1969年发表。约瑟夫·皮尔·拉萨尔在1960年发表此论文,是西方第一位发表此定理的人,而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例,而1959年时由克拉索夫斯基发表了一般性的定理[4]

相关条目

原始论文

  • LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF页面存档备份,存于互联网档案馆))
  • Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 (俄语). 
  • Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科书

教材

  • 德克萨斯州农工大学不变集原理的讲义(PDF
  • 北卡罗来纳州立大学拉萨尔不变集原理的讲义(PDF页面存档备份,存于互联网档案馆))
  • 加利福尼亚理工学院拉萨尔不变集原理的讲义(PDF页面存档备份,存于互联网档案馆))
  • 麻省理工学院拉萨尔稳定性分析及不变集原理的开放讲程讲义(PDF页面存档备份,存于互联网档案馆))
  • 普渡大学稳定性理论及拉萨尔不变集原理的讲义(PDF[永久失效链接]

参考资料

  1. ^ Khalil, Hasan. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 2002. 
  2. ^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008. 
  1. ^ Lecture notes on nonlinear control页面存档备份,存于互联网档案馆), University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
  2. ^ ibid.
  3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis页面存档备份,存于互联网档案馆), National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
  4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.