此条目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2019年5月1日) 请邀请适合的人士改善本条目。更多的细节与详情请参见讨论页。 |
拉萨尔不变集原理(LaSalle's invariance principle)也称为不变集原理(invariance principle)[1]、Barbashin-克拉索夫斯基-拉萨尔原理(Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle)[2]或克拉索夫斯基-拉萨尔原理(Krasovskii-LaSalle principle),是自治动力系统(可能是非线性系统)李雅普诺夫稳定性的判断准则。
全域稳定性版本
考虑以下方程式的系统
-
其中 为符合以下条件的变数向量
-
若可以找到 函数 ,使下式成立
- 针对所有 (半负定)
则任何轨迹中聚点(accumulation point)的集合都在 内, 是其完整轨迹完全在 集合的联集。
若 函数又有正定的性质,即
- ,针对所有的
-
而且 除了 for 的平凡轨迹外,未包括其他轨迹,则原点为李雅普诺夫稳定性。
再者,若 是径向无界(radially unbounded)
- 当 时,
原点为全域渐近稳定。
局部稳定性版本
若
- ,当 时
-
当 在原点的邻域 内才成立,且集合
-
除了 的轨迹外,不包括其他系统的轨迹,则依照拉萨尔不变集原理的局部稳定版本,原点有局部的渐近稳定性。
和李雅普诺夫稳定性的关系
If 为负定,则原点的全域渐进稳定是李雅普诺夫第二定理的结果。若 只是半负定,不变集原理也是判断渐近稳定性的准则。
例子:有摩擦力的单摆
此段落会用不变集原理来确立简单系统的区部渐近稳定性。此系统的微分方程如下[1]:
-
其中 是单摆的角度,以垂直往下的角度为0度, 是单摆的质量, 是摩擦系数,g是因重力产生的加速度。
因此可以将系统方程式表示如下
-
-
利用不变集原理,可以证明一定大小的球体,若初始位置在原点附近 ,可以证明其所有的轨迹都会渐近收敛到原点。定义 为
-
即为系统的能量[2]。 在原点附近,半径 的开球体内为正定。计算其导数
-
可观察到 。若 成立,可以依李雅普诺夫第二定理得到所有轨迹都会到达原点的结论。不过很可惜, 及 只是半负定。不过,以下集合
-
也就是
-
除了平凡轨迹x = 0外,不包括系统内的任何轨迹。若在特定时间 , ,则因为 必需小于 ,则 且 。因此,轨迹不会停留在集合 内。
不变集原理的所有条件都满足,也可以下结论说:所有在原点附近的轨距,当 时,最后都会收敛到原点[3]。
历史
此结果是由约瑟夫·皮尔·拉萨尔(在RIAS)及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基两人独立发现,两人分别在1960年及1969年发表。约瑟夫·皮尔·拉萨尔在1960年发表此论文,是西方第一位发表此定理的人,而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例,而1959年时由克拉索夫斯基发表了一般性的定理[4]。
相关条目
原始论文
- LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 (俄语).
- Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
教科书
教材
- 德克萨斯州农工大学不变集原理的讲义(PDF)
- 北卡罗来纳州立大学拉萨尔不变集原理的讲义(PDF (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- 加利福尼亚理工学院拉萨尔不变集原理的讲义(PDF (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- 麻省理工学院拉萨尔稳定性分析及不变集原理的开放讲程讲义(PDF (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- 普渡大学稳定性理论及拉萨尔不变集原理的讲义(PDF[永久失效链接])
参考资料
- ^ Khalil, Hasan. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 2002.
- ^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008.
- ^ Lecture notes on nonlinear control (页面存档备份,存于互联网档案馆), University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
- ^ ibid.
- ^ Lecture notes on nonlinear analysis (页面存档备份,存于互联网档案馆), National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
- ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.