指数稳定

控制理论的指数稳定（exponentially stable）是线性时不变系统（LTI）的特性。连续时间LTI系指数稳定的充分必要条件，是其特征值（输入-输出系统的极点）实部均为负值（也就是极点在复平面的左半平面)[1]。离散时间LTI系统指数稳定的充分必要条件，是其传递函数在复数平面上，原点为零的单位圆内（不得在单位圆上）。

指数稳定是一种李雅普诺夫稳定。李雅普诺夫稳定中有一种较严格的条件为渐进稳定，指数稳定的系统也都是渐进稳定的系统。 针对其他LTI系统，若其收敛是可以找到指数衰减的上下界，即为指数稳定。

实际例子

指数稳定的线性时不变系统是指一系统在有限值输入或是非零的初始条件下，此系统输出不会发散或是趋近无限大。而且，若系统输入是一个固定的有限值（阶跃函数），输出的振荡会以指数衰减方式变小，输出会渐近到新的稳态值。若系统的输入是狄拉克δ函数，其产生的振荡最后会消失，系统会回到其原始的数值。若在输入脉冲函数后，振荡不会消失，或是系统不会回到原始值，此系统是临界稳定，不是指数稳定。

指数稳定LTI系统的例子

 
二个指数稳定系统冲激响应的例子

右图是二个类似系统冲激响应的例子。绿图的冲激响应为 ，蓝图的的冲激响应为 。其中有一个有振荡，但最终值仍然会回到0。

真实世界的例子

在开口朝上的汤勺上放一个弹珠。弹珠最后会停在汤勺的最低点，只要汤勺不晃动，弹珠就会维持在最低点。若小力推动弹珠（类似狄拉克δ函数），弹珠会来回晃动，但最后仍会回到汤勺的最低点。若画出弹珠的水平位置轨迹，会类似上图中的蓝色曲线。

若要让弹珠持续偏离汤勺的最低点，需要持续施力，反抗弹珠因重量及汤勺角度产生的重力分量。只要不受力，弹珠会回汤勺的最低点，因此此系统不是临界稳定系统。

不过上述的情形都是在弹珠受力不大的情形下，若给弹珠的力够大，使弹珠可以滚到汤勺外面，弹珠会往下掉，掉落到地面上，不会回到汤勺的最低点。因此若考虑所有可能的输入，此系统无法都维持稳定。因此有些系统的指数稳定是指其输入在一定范围内才会稳定。

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参考资料

  1. ^ David N. Cheban (2004), Global Attractors Of Non-autonomous Dissipative Dynamical Systems. p. 47

外部链接