有界函数

数学中,如果在某个集合上定义的具有实数复数值的某个函数值域有界集合,则函数被称为有界的(或有界函数)。换句话说,存在实数,使得对于集合中的所有,都有。有时,如果对于集合中的所有,都有,则函数称为上有界的就是它的一个上界;如果对于集合中的所有,都有,则函数称为下有界的就是它的一个下界。

有界函数(红色)和无界函数(蓝色)的示意图。可以看到,有界函数的图形保持在(虚线)水平带内,而无界函数的图形不保持在水平带内。

一个特例是有界数列,其中是所有自然数所组成的集合。所以,一个数列 是有界的,如果存在一个数,使得对于所有的自然数,都有

例子

  •  所定义的函数 是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上,则不再是有界的。
  • 函数  不等于−1或1)是无界的。当 越来越接近−1或1时,函数的值就变得越来越大。但是,如果把函数的定义域限制 ,则函数就是有界的。
  • 函数 是有界的。
  • 任何一个连续函数 都是有界的。
  • 考虑这样一个函数:当 有理数时,函数的值是0,而当 无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

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