临界稳定

齐次（英语：homogeneous differential equation）连续线性时不变系统为临界稳定的充份必要条件是：系统传递函数中每个极点的实部都为非正值，且其中有一个或多个极点实部为零，且均为相异的单根，而其他的极点实部为负值。若所有的极点实部都是负值，系统渐近稳定，若有极点实部为正，则系统不稳定。

若系统是以状态空间来表示，可以推导其若尔当标准型，再分析是否临界稳定^[2]：系统临界稳定当且仅当其对于实部为0的若尔当区块为标量。

齐次离散线性时不变系统为为临界稳定的充份必要条件是，传递函数中极点绝对值的最大值为1，且绝对值为1的极点都是相异的单根。也就是说，传递函数的谱半径为1，若谱半径小于1，系统会收敛。

以下是一个一阶线性差分方程（英语：linear difference equation）的例子：假设状态变数 x的方程如下

${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$ 

其参数a > 0。若系统受扰动，偏离${\displaystyle x_{0},}$ ，其后续数列会是${\displaystyle ax_{0},\,a^{2}x_{0},\,a^{3}x_{0},\,\dots }$ 。若a < 1，不论启始值${\displaystyle x_{0},}$ 为何，数列会渐渐接近零。若a > 1，数值会渐渐变到无限大。但若a = 1，数列不会发散，也不会收敛，数列会维持${\displaystyle x_{0}.}$ ，因此a = 1的例子即为临界稳定。

临界稳定是指一系统若给予有限振幅的狄拉克δ函数为输入，系统不会发散到无限大，但也不会收敛到零。输出会持续出现一定大小的偏移或是振荡，一般而言也不会有最终的稳态输出。若连续系统输入的频率恰好是纯虚数极点对应的频率，系统输出会无限制的增加（即为共振^[3]）。这也就是针对有界输入有界输出稳定性系统，其极点实部需要为负值（不只是非正值而已）的原因。

若连续系统有纯虚数的极点，其输出会有持续的振荡。例如没有阻尼的二阶系统，也就是没有阻尼及摩擦力，弹簧为理想弹簧的弹簧-质量系统即为一例，此时会持续的振荡。另一个例子是没有摩擦力的单摆，其系统在原点处也是临界稳定。

若要临界稳定，需要有极点恰好在虚轴（连续时间系统）上或是在单位圆（离散时间系统）上，因此在实际系统中，除非此系统在本质上就有这种特性，不然很少出现这样的系统。

在随机过程中，临界稳定也是很重要的概念，例如有些过程会依循离散时间下的随机游走

${\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+e_{t},}$ 

其中${\displaystyle e_{t}}$ 是独立同分布的误差，此方程有单位根（其特征方程（英语：characteristic equation (of difference equation)）的特征值有出现1），因此会有临界稳定，需要使用特殊的时间序列技巧，以经验方式为有此方程的系统进行建模。

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