矩阵
令λ1, ..., λn是矩阵A ∈ Cn×n中的特征值,则其谱半径 ρ(A) is 定义为:
-
的条件数可以用谱半径表示,公式为 。
谱半径是矩阵所有范数的一种下确界(infimum)。另一方面, 对每一个矩阵范数 都成立,Gelfand公式指出 。不过,针对任意向量 ,谱半径不一定会满足 。若要说明原因,可以令 为任意数,考虑矩阵 。 的特征多项式是 ,因此其特征值为 ,且 。不过 ,因此 ,其中 是 上的任何 范数。至于可以当 时,让 的原因是 ,因此当 时,使 。
- 针对所有
成立的条件是 为埃尔米特矩阵及 为欧几里得范数。
图
有限图的谱半径定义为其邻接矩阵的谱半径。
此一定义可以扩散到无限图,但是其每个顶点都只连接有限个顶点(存在一实数C使得每一个顶点的度都小于C)。此情形下,针对图G可定义:
-
令γ是 G的邻接算子:
-
G的谱半径定义为有界线性算子γ的谱半径。
上界
矩阵谱半径的上界
以下的命题指出了一个简单但是有用的矩阵谱半径上界:
命题:令A ∈ Cn×n,其谱半径为ρ(A),以及相容(Consistent)矩阵范数 ||⋅||。则针对每一个整数 :
-
证明
令(v, λ)为矩阵A的特征值-特征向量对。利用矩阵范数的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:
-
因为v ≠ 0,可得
-
因此
-
图谱半径的上界
有关n个顶点,m个边的图,有许多的谱半径的上界公式。例如,若
-
其中 为整数,则[1] :
-
乘幂数列
定理
谱半径和矩阵乘幂数列是否收敛有紧密的关系。以下的定理会成立:
- 定理:令A ∈ Cn×n,其谱半径ρ(A)。则ρ(A) < 1当且仅当
-
- 另一方面,若ρ(A) > 1, 。上述叙述针对Cn×n上的任何矩阵范数都有效。
定理证明
假设问题中的极限值为零,可以证明ρ(A) < 1。令(v, λ)为A的特征值和特征向量对。因为Akv = λkv可得:
-
因为假设v ≠ 0,会得到
-
表示|λ| < 1。因为这对任何一个特征值都会成立,因此可知ρ(A) < 1。
接下来假设A的谱半径小于1。根据若尔当标准型定理,可以知道针对所有的A ∈ Cn×n,存在V, J ∈ Cn×n以及非奇异的V和J分块对角矩阵使得:
-
而
-
其中
-
因此可得
-
因为J是分块对角矩阵
-
而 若尔当方块矩阵k次方可以得到,针对 :
-
因此,若 ,则针对所有的i, 都会成立。因此针对所有的i,可得:
-
这也表示
-
因此
-
另一方面,若 ,当k增加时,在J中至少有一个元素无法维持有界,因此证明了定理的第二部分。
Gelfand公式
定理
以下的定理可以用[矩阵范数的极限来计算T谱半径
- 定理(Gelfand公式,1941年):令任何矩阵范数 ||⋅||,,可得
- [2].
证明
令任意ε > 0,先建构以下二个矩阵:
-
则:
-
先将之前的定理应用到A+:
-
这表示,根据级数极限定理,一定存在N+ ∈ N使得针对所有的k ≥ N+,下式都成立
-
因此
-
将之前的定理用在A−,表示 无界,一定存在N− ∈ N使得针对所有的k ≥ N−,下式都成立
-
因此
-
令N = max{N+, N−},,可得:
-
因此,依定义,可得下式
-
举例
考虑以下矩阵
-
其中的特征值为5, 10, 10。依照定义,ρ(A) = 10。在以下的表中,会以四个最常用的矩阵范式,在k增加时,计算 (注意,因为此矩阵特殊的形式, ):
k
|
|
|
|
---|
1
|
14
|
15.362291496
|
10.681145748
|
2
|
12.649110641
|
12.328294348
|
10.595665162
|
3
|
11.934831919
|
11.532450664
|
10.500980846
|
4
|
11.501633169
|
11.151002986
|
10.418165779
|
5
|
11.216043151
|
10.921242235
|
10.351918183
|
|
|
|
|
10
|
10.604944422
|
10.455910430
|
10.183690042
|
11
|
10.548677680
|
10.413702213
|
10.166990229
|
12
|
10.501921835
|
10.378620930
|
10.153031596
|
|
|
|
|
20
|
10.298254399
|
10.225504447
|
10.091577411
|
30
|
10.197860892
|
10.149776921
|
10.060958900
|
40
|
10.148031640
|
10.112123681
|
10.045684426
|
50
|
10.118251035
|
10.089598820
|
10.036530875
|
|
|
|
|
100
|
10.058951752
|
10.044699508
|
10.018248786
|
200
|
10.029432562
|
10.022324834
|
10.009120234
|
300
|
10.019612095
|
10.014877690
|
10.006079232
|
400
|
10.014705469
|
10.011156194
|
10.004559078
|
|
|
|
|
1000
|
10.005879594
|
10.004460985
|
10.001823382
|
2000
|
10.002939365
|
10.002230244
|
10.000911649
|
3000
|
10.001959481
|
10.001486774
|
10.000607757
|
|
|
|
|
10000
|
10.000587804
|
10.000446009
|
10.000182323
|
20000
|
10.000293898
|
10.000223002
|
10.000091161
|
30000
|
10.000195931
|
10.000148667
|
10.000060774
|
|
|
|
|
100000
|
10.000058779
|
10.000044600
|
10.000018232
|
有界线性算子
针对有界线性算子 A 及算子范数 ||·||,可以得到
-
(复数希尔伯特空间上的)有界算子若其谱半径等于数值半径,可以称为“谱算子”(spectraloid operator)。其中一个例子是正规算子。
相关条目
注解
参考资料
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
- Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1