特征多项式

设 ${\displaystyle \mathbb {F} }$  为域（例如实数或复数域），对布于 ${\displaystyle \mathbb {F} }$  上的 ${\displaystyle n\times n}$  矩阵 ${\displaystyle A}$ ，定义其特征多项式为

${\displaystyle p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]}$ 

这是一个 ${\displaystyle n}$  次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

当 ${\displaystyle A}$  为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，${\displaystyle p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})}$ ，其中 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$  是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为 ${\displaystyle p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)}$ 。一般而言，若 ${\displaystyle p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}}$ ，则 ${\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}\det(A)}$ ，${\displaystyle a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)}$ 。

此外：

• 特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 ${\displaystyle C}$  使得 ${\displaystyle B=C^{-1}AC}$ ，则 ${\displaystyle p_{A}(t)=p_{B}(t)}$ 。
• 对任意两方阵 ${\displaystyle A,B}$ ，有 ${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t)}$ 。一般而言，若 ${\displaystyle A}$  为 ${\displaystyle m\times n}$  矩阵，${\displaystyle B}$  为 ${\displaystyle n\times m}$  矩阵（设 ${\displaystyle m<n}$ ），则 ${\displaystyle p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)}$ 
• 凯莱-哈密顿定理：${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ 。