特征方程式

考虑常系数的线性齐次微分方程 a_n, a_{n − 1}, ..., a₁, a₀,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0}$ 

假设y(x) = e^rx，而指数函数e^rx的导数是本身的倍数，y′ = re^rx, y″ = r²e^rx，y⁽ⁿ⁾ = rⁿe^rx。因此上式中的每一项都会是e^rx的倍数。若r为特定值，可以让e^rx的倍数变为0，这样即可求解齐次微分方程^[5]。为了求解r，可以将y = e^rx及其导数替换到微分方程中，可以得到

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$ 。

因为e^rx不会为零，因此其系数必须为零，可以得到以下的特征方程式

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$ 

求解特征方程式中的r，可以求得微分方程的通解^[1][6]。例如，若r为3，其通解为y(x) = ce^3x，其中c为积分常数。

找到特征方程式的根r₁, ..., r_n，就可以找到微分方程的通解。特征方程式的根可能是实数或复数，可能都是不同的值，也可能会有相同的值（重根）。若特征方程式的根有相异的实根，另外有h个重根，或是k个复数的根，其解分别为y_D(x), y_R1(x), ..., y_Rh(x)及y_C1(x), ..., y_Ck(x)，因此通解为

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$ 

例子

以下是常系数的线性齐次微分方程

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$ 

其特征方程为

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$ 

将特征方程因式分解，可得到

${\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}$ 

可以看到r的解有一个单根，r₁ = 3以及重根的复数根r_2,3,4,5 = −1 ± i，因此其通解为

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$ 

其中有常数c₁, ..., c₅。

相异实根

根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理，若u₁, ..., u_n是特定微分方程的n个线性无关的解，则c₁u₁ + ... + c_nu_n也是其解，其中c₁, ..., c_n为任意常数^[1][7]。因此，若特征方程有相异实根r₁, ..., r_n，则通解为

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$ 。

重根实根

若特征方程式中有重复k次的根r₁，可以确定y_p(x) = c₁e^r₁x会是微分方程的解，不过这个解没有针对其他k − 1的根提供线性无关的解。因为r₁为k次重根，可以将微分方程改写为^[1]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0}$ .

因为y_p(x) = c₁e^r₁x为其中的一个解，因此可以令通解为以下的形式y(x) = u(x)e^r₁x，其中 u(x)是待确认的函数。将ue^r₁x代入后可得

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$ 

其中k = 1。上述的式子应用k次，可以得到

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}$ 

除以e^r₁x后可得

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}$ 

上述式子当且仅当u(x)是k − 1次的多项式，因此u(x) = c₁ + c₂x + c₃x² + ... + c_kx^{k − 1}.^[6]。因为y(x) = ue^r₁x，因此通解中对应r₁的解会是

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)}$ 

复数根

若二阶微分方程有共轭复数根r₁ = a + bi及r₂ = a − bi，其对应的通解为y(x) = c₁e^{(a + bi)x} + c₂e^{(a − bi)x}。利用欧拉公式（e^iθ = cos θ + i sin θ），可以将通解改写如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$ 

其中c₁和c₂是系数，不过可能不是实数，而且随初始条件而不同^[6]（因为y(x)是实数，c₁ − c₂需要是虚数或是零，c₁ + c₂为实数，为了要让等号右边为实数）

例如，若c₁ = c₂ = 1/2，可以得到特解y₁(x) = e^ax cos bx，另外，若c₁ = 1/2i及c₂ = −1/2i，可以得到另一个独立的解y₂(x) = e^ax sin bx。利用重叠原则，有r = a ± bi复根的常系数线性齐次微分方程，其通解如下：

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)}$ 

上述的分析也可以应用在高阶微分方程，其特征方程式中也可能有非实数的共轭根。