算子范数

给定两个赋范向量空间E和F，假定它们的系数域相同（一般是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）。从E到F的一个线性映射A是连续的当且仅当存在常数c > 0使得：

${\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}.}$ 

其中的${\displaystyle \|\cdot \|_{E}}$ 和${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ 分别是空间E和F上装备的范数。这个定义说明，连续线性映射将一个E里面的向量映射到F中时，其“长度”的改变不会超过c倍。常数c是对线性映射A的“效果”的一个上界估计。所以，有界的集合经过连续映射后的像仍然会是有界集合。因为这一点，连续线性映射也被称作有界算子。而为了“精确计算”线性映射的“大小”，会引进算子范数的定义。有界线性算子的范数是能够作为上界估计的c所有常数中“最小”的一个：

${\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c\;;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E},\;\;\forall u\in E\}.}$ 

其中的${\displaystyle \inf }$ 指下确界。由于实数集合${\displaystyle \{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}}$ 是有下界的闭集，定义中的下确界${\displaystyle \inf }$ 可以改成“最小元素”：${\displaystyle \min }$ 。

当F是E的系数域时，从E到F的连续线性映射被称为连续线性泛函。连续线性泛函构成的空间被称为从E的对偶空间，而连续线性泛函的算子范数被称为对偶范数。对偶空间在对偶范数下是一个巴拿赫空间。

考虑两个装备了正则欧几里德范数的欧几里德空间：${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 和${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ，其中${\displaystyle n,m}$ 都是正整数。从${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 映射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 的有界线性算子（线性映射）都可以用${\displaystyle n\times m}$ 的矩阵来表示。所以这些算子构成的空间实际上是矩阵空间：${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )}$ ，而对应的算子范数也称为矩阵范数。假设某个线性映射对应的矩阵是${\displaystyle A}$ ，那么它的矩阵范数是${\displaystyle A^{*}A}$ 的最大特征值的平方根，或者说是${\displaystyle A}${\displaystyle A}  的最大的奇异值。

对于无限维的赋范空间，常见的例子有平方可加序列空间${\displaystyle \ell ^{2}}$ 。其定义为：

${\displaystyle \ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} };\;\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.}$ 

给定一个有界数列${\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }}$ ，考虑从${\displaystyle \ell ^{2}}$ 到自身的线性算子${\displaystyle T_{s}}$ ：

${\displaystyle \forall a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2},\;\;T(a)=(s_{n}\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}$ 

由于${\displaystyle s}$ 是有界序列，其范数${\displaystyle \|s\|_{\infty }=\sup\{|s_{n}|;\;\;n\in \mathbb {N} \}<+\infty }$ ，所以${\displaystyle \|T_{s}(a)\|_{2}\leqslant \|s\|_{\infty }\|a\|_{2}}$ 。${\displaystyle T}$ 是连续线性算子（有界算子）。而${\displaystyle T_{s}}$ 的算子范数：

${\displaystyle \|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.}$ 

类似的例子还有${\displaystyle L^{p}}$ 空间之间的映射。例如考虑平方可积函数的空间${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ，设有从${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 映射到${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的线性算子${\displaystyle T_{f}}$ ：

以外，还可以用以下等价的方式定义[1]^:97：

1. A的算子范数是A在单位闭球上取值的上确界：${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}\leq 1\},}$ 
2. A的算子范数是A在单位开球上取值的上确界：${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}<1\},}$ 
3. A的算子范数是A在单位球面上取值的上确界：${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}=1\},}$ 
4. A的算子范数是A在E中非零元素上取值和元素范数之比的上确界：${\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{{\frac {\|A(u)\|_{F}}{\|u\|_{E}}};\;\;u\in E,\;\;u\neq 0\}.}$ 

算子范数是所有从E到F的有界线性算子构成的空间上的范数，因此满足范数的基本性质：

• 正定性：${\displaystyle \|A\|_{op}\geqslant 0}$ ，并且${\displaystyle \|A\|_{op}=0}$ 当且仅当${\displaystyle A=0.}$ 
• 线性性：${\displaystyle \forall a\in \mathbb {K} ,\;\;\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}.}$ 
• 次可加性：${\displaystyle \|A+B\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}$ ^[1]:98

此外，由算子范数的定义可推出以下不等式：

${\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant \|A\|_{op}\|u\|_{E}.}$ ^[1]:97

有界算子复合后的算子范数仍然存在。假设有从E到F的有界线性算子A以及从F到G的有界线性算子B，那么复合算子B${\displaystyle \circ }$ A也是从E到G的有界线性算子，其算子范数满足不等式：

${\displaystyle \|B\circ A\|_{op}\leqslant \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}$ ^[1]:98

例如当A是E到自身的有界线性算子时，有：${\displaystyle \|A^{(n)}\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}^{n}.}$ 

如果F是完备空间，那么从E到F的有界线性算子构成的空间，在装备了算子范数下是完备的空间。^[1]:98