给定一个由E′中元素构成的柯西序列: ,其中每一个 都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知,
- 使得
所以对E中任何元素x,都有:
-
这说明 是柯西数列,因而收敛:数列的极限存在。定义函数 如下:
-
这样定义的函数f 是连续线性泛函,属于E′。事实上:
- f 是线性映射:
-
-
- f 是连续映射:
- 将 定为1,则存在 ,使得 ,都有 ,这说明:
- 因此, 都有
- 当 趋向无穷大时,就有: 。这说明f 是连续映射。
最后证明f 是序列 在对偶范数下的极限:
- 给定 ,总能找到 ,使得:
- 所以,
-
- 当 趋向无穷大时,就有:
- 因此,
这说明序列 在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。