线性非时变系统时域分析下的条件
连续系统的充份及必要条件
针对连续时间的线性非时变(LTI)系统,BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分,也就是存在L1范数
离散系统的充份条件
针对离散时间的线性非时变系统,BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分,也就是存在L1范数
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充份条件的证明
假设离散时间的线性非时变系统,其脉冲响应 和输入 和输出 之间会有以下的关系:
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其中 为卷积
则依卷积的定义:
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令 为 的最大值
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- (根据三角不等式)
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若 是绝对可求和,则 且
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因此若 是绝对可求和,且 有界,则因为 , 也会有界。
连续时间的情形也可以依类似的方式证明。
线性非时变系统频域分析下的条件
连续时间信号
对于一个有理的连续时间系统,稳定性的条件是拉普拉斯转换的收敛区域包括复数平面的虚轴。若系统为因果系统,其收敛区域为“最大极点”(实部为最大值的极点)实部垂直线往右的开集,定义收敛区域的极点实部称为收敛横坐标。因此,若要有BIBO稳定性,系统的所有极点都需在S平面的严格左半平面(不能在虚轴上)。
可以将时域分析下的稳定性条件扩展到频域下:
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其中 ,且 .
因此收敛区域必须包括虚轴。
离散时间信号
对于一个有理的离散时间系统,稳定性的条件是Z转换的收敛区域包括单位圆。若系统为因果系统,其收敛区域为极点绝对值中最大值为半径的圆周以外的开集,因此,若要有BIBO稳定性,系统的所有极点都需在Z平面的单位圆内(不能在单位圆上)。
可以用类似的方式推导稳定性准则:
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其中 ,且
因此收敛区域必须包括单位圆。
相关条目
- 线性时不变系统理论
- 有限脉冲响应(FIR)滤波器
- 无限脉冲响应(IIR)滤波器
- 奈奎斯特图
- 罗斯-霍维茨稳定性准则
- 波德图
- 相位裕度
- 根轨迹法
- 超稳定性
延伸阅读
- Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, 互联网档案馆)
- Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577