辛钦常数

在数论领域中，苏联数学家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）证明对于几乎所有实数x，其连分数表示式的系数a_i的几何平均数之极限存在，且与x数值无关，此数值称为辛钦常数（英语：Khinchin's constant）。

以下是x的连分数表示式

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

针对任意实数x，以下的等式几乎总是为真

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K_{0}}$

其中 ${\displaystyle K_{0}}$为辛钦常数

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots }$ （OEIS数列A002210）.

不符合上述条件的实数包括了有理数、实系数二次方程的解（包括黄金比例 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$），以及自然对数的底e。目前辛钦常数是否为无理数或代数数仍犹未可知。虽然几乎所有实数之连分数系数的几何平均都趋近于辛钦常数，但除了特意建构的实数外，并没有实数被严格证明有此性质，仅有一些数值上的证据，像是圆周率及欧拉-马歇罗尼常数。