化圆为方

尺规作图法

在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是^[1]：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法^[1]：

• 通过两个已知点，作一直线。
• 已知圆心和半径，作一个圆。
• 若两已知直线相交，确定其交点。
• 若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。
• 若两已知圆相交，确定其交点。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。^[1]

问题叙述

化圆为方问题的完整叙述是：

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ 倍的线段。^[2]

圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ 的长度。这等价于从1开始作出${\displaystyle \pi }$ 。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得

${\displaystyle m(z)=0.}$ 

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率${\displaystyle \pi }$ 来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而${\displaystyle \pi }$ 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。^[1]

林德曼证明${\displaystyle \pi }$ 的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数${\displaystyle z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}}$ 在有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上线性独立，那么${\displaystyle e^{z_{1}},e^{z_{2}},\cdots ,e^{z_{n}}}$ 也在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上线性独立。反设${\displaystyle \pi }$ 是代数数，那么${\displaystyle \pi i}$ 也是代数数。考虑代数数0和${\displaystyle \pi i}$ ，由于${\displaystyle \pi i}$ 是无理数，所以它们在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上线性独立。然而${\displaystyle e^{0}}$ 和${\displaystyle e^{\pi i}}$ 分别是1和-1，并非在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上线性独立，矛盾。这说明${\displaystyle \pi }$ 不是代数数，而是超越数。^[2]

• 印第安纳圆周率法案

• HPM 通讯第6卷第6期, 3大作图题 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 介绍如何使用其他曲线（或几何特性）再加上尺规作图，来求解化圆为方问题。