古埃及分数的表达形式不是唯一的,还未找到一个算法总是给出最短的形式。
贪婪算法
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贪婪算法:将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少,称为第一种好算法;最大的分母数值最小,称为第二种好算法。
例如:
。共2项,是第一种好算法,比 的项数要少。
又例如,
比
的最大分母要小,所以是第二种好算法。
- 找出仅小于 的最大单位分数。这个分数的分母的计算方法是:即用 除以 ,舍去余数,再加1。(如果没有余数,则 已是单位分数。)
- 把 减去单位分数,以这个新的、更小的 重复步骤1。
例子:把 转成单位分数。
- ,所以第1个单位分数是 ;
- ;
- ,所以第2个单位分数是 ;
- ;
- ,所以第3个单位分数是 ;
- 已是单位分数。
所以结果是:
- 。
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特和斐波那契都提出过以上的方法。
Golomb算法
这个算法是基于贝祖等式的:当 , 互质, 有无穷多对正整数解 。
选取最小的正整数解 。取单位分数分母为 ,重复步骤。
以 为例:
- ,所以第1个单位分数是 ;
- ,所以第2个单位分数是 ;
- 第3个单位分数是 。
二进制
最基本的方法就是将分数写成二进制数,便能将该分数写成分母为二的幂的单位分数之和。
换个说法就是重复求最小的正整数 使得 。
这个方法的效率很低。
一个改善之道是选取正整数 使得 。选取适当的正整数 ( )使得 。 。将 写成二进制数。
例如:
:
- ,
-
-
-
分拆
将一个分数表示成未必相异的单位分数之和。若有两个单位分数相同,可以用以下其中一种处理方式:
- 若它们的分母是双数,便用它们的和取代;若它们的分母是单数,设它们的分母为 ,用 取代。
- 设它们的分母为 ,用 取代。
或是 ← 可等于任意正整数
表示成为一个级数形式:
Engel展开式
数学史家有时论述代数的发展分为三个基本阶段:
- 文字代数:其问题以古代数学家所用的文字表述;
- 省文代数:简化问题中一些字词,以帮助理解;
- 符号代数:以符号代表运算符和算子,使更容易理解。
未知数以符号形式通常记为。我们从古埃及文稿得知,埃及祭司和书记采用文字代数的方式,以一个解为“堆”或“集”的字“阿哈”来表示未知数。
这是现存在伦敦的大英博物馆的莱因德数学纸草书(第二中间期)所载,其中一个阿哈问题的翻译:
“问题24: 一个数量和它的 加起来是19。这数量是什么?”
“假设是7。7和7的 是8。8要乘上多少倍以得到19,7也要乘上这样多倍以得到所要的数量。”
以现在的符号形式, ,故此 。检查: 。
注意问题中的分数。古埃及人以单位分数计算,如 。
一个形状如开口的象形文字是表记分数的符号,这“开口”下有象形文字的数字就是分数的分母。