裴蜀等式

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克（法语：Claude-Gaspard Bachet de Méziriac）。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres）第二版中给出了问题的描述和证明^[1]。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明^[2]。

对任意两个整数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ，设${\displaystyle d}$ 是它们的最大公约数。那么关于未知数${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

${\displaystyle \displaystyle ax+by=m}$ 

有整数解${\displaystyle (x,y)}$  当且仅当${\displaystyle m}$ 是${\displaystyle d}$ 的整数倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

${\displaystyle m=1}$ 时，方程有解当且仅当${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 互质。方程有解时，解的集合是

${\displaystyle \left\{\left({\frac {m}{d}}x_{0}+{\frac {kb}{d}},\ {\frac {m}{d}}y_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$ 。其中${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ 是方程${\displaystyle ax+by=d}$ 的一个解，可由辗转相除法得到。

所有解中，恰有二解(x,y) 满足${\displaystyle |x|\leq |b/d|}$ 及${\displaystyle |y|\leq |a/d|}$ ，等号只会在${\displaystyle a}$ 及${\displaystyle b}$ 其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。

丢番图方程${\displaystyle 504x+651y=14}$  没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程${\displaystyle 504x+651y=21}$ 是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：

${\displaystyle 24x+31y=1}$ 。

通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解${\displaystyle (x,y)=(-9,7)}$ ：${\displaystyle 24\cdot (-9)+31\cdot 7=-216+217=1}$ 。

于是通解为：${\displaystyle \left\{\left(1\cdot -9+31k,1\cdot 7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ，即

${\displaystyle \left\{\left(-9+31k,7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}}$ 。

设${\displaystyle a_{1},\cdots a_{n}}$ 为${\displaystyle n}$ 个整数，${\displaystyle d}$ 是它们的最大公约数，那么存在整数${\displaystyle x_{1},\cdots x_{n}}$  使得 ${\displaystyle x_{1}\cdot a_{1}+\cdots x_{n}\cdot a_{n}=d}$ 。特别来说，如果${\displaystyle a_{1},\cdots a_{n}}$ 互质（不是两两互质），那么存在整数${\displaystyle x_{1},\cdots x_{n}}$  使得 ${\displaystyle x_{1}\cdot a_{1}+\cdots x_{n}\cdot a_{n}=1}$ 。

${\displaystyle K}$ 为域时，对于多项式环${\displaystyle K[X]}$ 里的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族${\displaystyle \mathbb {K} [X]}$ 里的多项式${\displaystyle \left(P_{i}\right)_{i\in I}}$ 。设${\displaystyle \Delta }$ 为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ 使得${\displaystyle \textstyle \Delta =\sum _{i\in I}A_{i}P_{i}}$ 。特别来说，如果${\displaystyle \left(P_{i}\right)_{i\in I}}$ 互质（不是两两互质），那么存在多项式${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ 使得${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}A_{i}P_{=}1}$ 。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环${\displaystyle A}$ 是主理想环，${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 为环中元素，${\displaystyle d}$ 是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 使得：

这是因为在主理想环中，${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 的最大公约元被定义为理想${\displaystyle aA+bA}$ 的生成元。

• 理想 (环论)
• 欧几里德整环
• 欧几里德引理
• 主理想环
• 整除

• 闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。
• 唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

• 线上计算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）