理想 (环论)

恩斯特·库默尔提出了理想数的概念，以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中，可以类比在几何中那些“理想”的几何对象，比如无穷远处的点。^[1]随后在1876年，理查德·戴德金在狄利克雷的数论讲义书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。^[1][2][3]之后这个概念被大卫·希尔伯特和艾米·诺特从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。

环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

1. (I, +)构成(R, +)的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

1. (I, +)构成(R, +)的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。

一些结论

• 在环中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。

• 对于R的两个理想A，B，记${\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}}$ 。按定义不难证明：

1. 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
2. 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
3. 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

• R的子集I是R的理想，若I满足：

1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
2. ∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。

• 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。

• 除环的理想：除环中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

如果 ${\displaystyle A}$  是环 ${\displaystyle R}$  的一个非空子集，令 ${\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RA+AR+RAR+\mathbb {Z} A}$ , 其中

${\displaystyle \mathbb {Z} A=\left\{\sum _{i=1}^{n}m_{i}a_{i}:m_{i}\in \mathbb {Z} ,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};}$ 

${\displaystyle RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};}$ 

${\displaystyle AR=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};}$ 

${\displaystyle RAR=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}r_{i}':r_{i},r_{i}'\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\},}$ 

则 ${\displaystyle \left\langle A\right\rangle }$  是环 ${\displaystyle R}$  的理想，这个理想称为 ${\displaystyle R}$  中由 ${\displaystyle A}$  生成的理想，${\displaystyle A}$  称为生成元集。同群的生成子群类似，${\displaystyle \left\langle A\right\rangle }$  是 ${\displaystyle R}$  中所有包含 ${\displaystyle A}$  的理想的交，因此是 ${\displaystyle R}$  中包含 ${\displaystyle A}$  的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

1. 当 ${\displaystyle R}$  是交换环时，${\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb {Z} A}$ ;
2. 当 ${\displaystyle R}$  是有单位元${\displaystyle 1}$ 的环时，${\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RAR}$ ;
3. 当 ${\displaystyle R}$  是有单位元的交换环时，${\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RA}$ .

设集合A = {a₁,a₂,...,a_n}，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称${\displaystyle \left\langle A\right\rangle }$ 是有限生成理想。特别当${\displaystyle A=\left\{a\right\}}$ 是单元素集时，称${\displaystyle \left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle }$ 为环R的主理想。注意${\displaystyle \left\{a\right\}}$ 作为生成元一般不是唯一的，如${\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle }$ 。${\displaystyle \left\langle a\right\rangle }$ 的一般形式是：

${\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\}}$ 

• 性质：${\displaystyle \left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle }$ 

几类特殊环中的主理想：

1. 如果是交换环，则${\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}}$ 
2. 如果是有单位元的环，则${\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}}$ 
3. 如果是有单位元的交换环，则${\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}}$ 

• 真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。
• 极大理想：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
  • 极大左理想：设I是环R的左理想，若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
    1. 如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
    2. 极大理想未必是极大左理想。
  • 单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
    • 除环是单环，其零理想是极大理想。
    • 域是单环。
  • 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
  • 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
  • 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。

• 素理想：环R的真理想I被称为素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
• 素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环（或质环）。
  • 无零因子环是素环。
  • 在交换环R中，真理想I是素理想的充要条件是：R / I是素环。
• 准素理想：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P² ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称I是R的准素理想。
  • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。

• Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. 
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005 

• 理想 (序理论)