素环

在抽象代数中，一个非零的环 R 称作素环，若R满足以下条件中的一个（这几个条件是等价的）：

  • ∀a, b，r∈ R，有arb = 0 ⇒ a = 0 或 b = 0。
  • ∀R上的双边理想P,Q，若PQ = (0) ⇒ P=(0) 或 Q=(0)。

素环同时推广了整环与域上的矩阵环。

例子

  • 整环。
  • 单环。
  • 整域上的矩阵环。

性质

  • 含单位元的交换环是素环的充要条件是它是整环。
  • 一个环是素环当且仅当 (0) 是素理想。
  • 一个非零环是素环当且仅当其双边理想在乘法下构成的幺半群无零因子。
  • 布于素环上的矩阵环仍是素环。

文献

  • I.N. Herstein, Noncommutative rings (1968) , Math. Assoc. Amer.