单环

在环论中，若某非无零因子环除了零理想（英语：Zero ideal）及其本身两个理想外没有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。

单环的中心必是一个域，所以单环是该域上的一个结合代数。因此，单代数和单环是相同的概念。

此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环（即半单环）。在这种术语下，没有非平凡双边理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。

存在在自身上不是单模的单环，即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为 $M_{n}(R)$ 的任何理想都具有 $M_{n}(I)$ 的形式，其中 $I$ 是 $R$ 的理想），但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。

根据阿廷-韦德伯恩定理，所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限维度向量空间，则它必然与实数域、复数域或四元数域上的矩阵环同构。

单环，但非除环上的矩阵环的一个例子是外尔代数（英语：Weyl algebra）。

特征

如果一个环不包含非平凡的双边理想，则它是一个单代数。

单代数的直接示例是除法代数，其中每个非零元素都有一个乘法逆，比如四元数的实代数。此外，可以证明在除环中有元n × n矩阵的代数是单代数。实际上，它可以描述所有有限维度的单代数，直到同构为止。换言之，在其中心上的任何有限维度单代数与某个除法环上的矩阵代数（英语：Matrix algebra）同构。1907年，约瑟夫·韦德伯恩在其博士学位论文《论超复数》中证明这一件事。该论文出现于伦敦数学学会论文集里。韦德伯恩在其论文中分类了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块：在代数的意义上，任何有限维度的半单代数都是单代数的笛卡尔积。

后来阿廷-韦德伯恩定理将韦德伯恩的结果广义化到半单环。

例子

一个中心单代数（英语：Central simple algebra）（有时称为布饶尔代数）是一个域F上的有限维度单代数，且该域的中心为F。

设R为实数域，C为复数域，H为四元数域。

R上的所有有限维度单代数都与R、C或H上的矩阵环同构。R上的所有中心单代数都与R或H上的矩阵环同构。这些结果由弗罗贝尼乌斯定理（英语：Frobenius theorem (real division algebras)）得出。
C上的所有有限维度单代数都是中心单代数，与C上的矩阵环同构。
有限域上的所有有限维度的中心单代数都与该域上的矩阵环同构。
对于一个交换环，下列四个性质都是等价的：作为半单环、作为约化（英语：reduced ring）阿廷环、作为克鲁尔维数为0的约化诺特环以及与域的有限直积同构。

韦德伯恩定理

韦德伯恩定理描述具有可逆元和最小左理想的环的特征（左阿廷环的条件是第二条假设的广义化）。也就是说，所有此类的环都是除环上的n × n矩阵，直至同构为止。

设D为一个除环，M_n(D)为D上有元矩阵的环。因此，可以证明M_n(D)中的所有左理想都用以下形式出现：

{M ∈ M_n(D) | M的第 n₁, ..., n_k行没有元},

对于某个固定{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因此，M_n(D)中最小理想的格式为

{M ∈ M_n(D) | 除第k行外其余所有行都没有元},

对于某个给定的k。换言之，如果I是一个最小左理想，则I = M_n(D)e，其中e是一个幂等矩阵，在(k, k)元为1，在所有其他地方为0。此外，D与eM_n(D)e同构。左理想I可以视作eM_n(D)e上的右模。环M_n(D)与该模上同胚的代数同构。

以上例子引出了下列引理：

引理：A是一个单位为1，幂等元素为e的环，其中AeA = A。设I为左理想Ae，视作一个eAe上的右模。则A与I上同胚的代数同构，以Hom(I)表示。

证明：我们使用Φ(a)m = am定义“左规则表示”为Φ : A → Hom(I)，对于m ∈ I。Φ是单射的，因为如果a ⋅ I = aAe = 0，则aA = aAeA = 0，暗示a = a ⋅ 1 = 0。
对于满射，设T ∈ Hom(I)。由于AeA = A，元素1可以表达成1 = Σa_ieb_i。因此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σa_ieb_im) = Σ T(a_ieeb_im) = Σ T(a_ie) eb_im = [ΣT(a_ie)eb_i]m.
由于表达式[ΣT(a_ie)eb_i]不取决于m，Φ是满射的。引理证毕。

从以上引理可以得出韦德伯恩定理。

定理（韦德伯恩）：如果A是一个有单位1和最小左理想I的环，则A与除环上n × n矩阵的环同构。

证明eAe是一个除环，只需验证引理的假设，即求一个幂等元素e使得I = Ae。表明A是单环后可以得出A = AeA这个假设。

参考文献

A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3. P.37.
Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7
Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499.
Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0
Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854
Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5