群同构

给定两个群 (G, *) 和 (H, ${\displaystyle \odot }$ )，从 (G, *) 到 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的群同构是从 G 到 H 的双射群同态。这意味着群同构是双射函数 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$  使得对于所有 G 中的 u 和 v 有着

${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v)}$ 。

两个群 (G, *) 和 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 是同构的如果存在一个群同构。这写为:

${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot )}$ 

经常使用简写符号。在关于群运算没有歧义的情况下，可以省略它:

${\displaystyle G\cong H}$ 

有时甚至简写为 G = H。这种表示是否引起歧义或混淆依赖于上下文。例如，在这两个群是同一个群的子群的时候就不适合。参见后面的例子。

反过来说，给定群 (G, *)、集合 H 和双射 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ，我们可以通过定义 ${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v)}$  制造一个群 (H, ${\displaystyle \odot }$ )。

如果 H = G 并且 ${\displaystyle \odot }$  = * 则双射是自同构。

• 实数集带有加法的群 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ,+) 同构于正实数集带有乘法的群 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁺,×):

${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ 

通过同构

${\displaystyle f(x)=e^{x}\,}$ 

(参见指数函数)。

• 整数集带有加法的群 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  的子群，而因子群 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ /${\displaystyle \mathbb {Z} }$  同构于绝对值为 1 的复数组成的乘法群 ${\displaystyle S^{1}}$ :

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ 

同构给出为

${\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi}}$ 

对于所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 。

• 克莱因四元群同构于 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$  的两个复本的直积(参见模算术)，并因此写为 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ 。另一个符号是 Dih₂，因为它是二面体群。

• 如果 (G, *) 是无限循环群，则 (G, *) 同构于整数集带有加法的群。从代数的观点看，这意味着所有整数的集合带有加法运算是唯一的无限循环群。

某些群可以依赖于选择公理证明是同构的，但在理论上不能构造出具体的同构。比如:

• 群 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ , +) 同构于所有复数组成的加法群 (${\displaystyle \mathbb {C} }$ , +)。
• 非零复数集带有乘法的群 (${\displaystyle \mathbb {C} }$ ^*, ·) 同构于上面提及的群 S¹。

• 从 (G, *) 到 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的同构的核总是 {e_G} 这里的 e_G 是群 (G, *) 的单位元。

• 如果 (G, *) 同构于 (H,${\displaystyle \odot }$ )，并且如果 G 是阿贝尔群则 H 也是。

• 如果 (G, *) 是同构于 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的有限群，这里 f 是同构，则如果 a 属于 G 并有阶 n，则 f(a) 也是。

• 如果 (G, *) 是同构于 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 的局部有限群，则 (H, ${\displaystyle \odot }$ ) 也是局部有限群。

• 前面的例子展示了同构总是保持“群性质”。

从定义可以得出任何同构 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$  将映射 G 的单位元到 H 的单位元，

${\displaystyle f(e_{G})=e_{H}}$ 

并且映射逆元到逆元，

${\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}}$ 

和更一般的，n 次幂到 n 次幂

${\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n}}$ 

对于所有 u ∈ G，并且逆映射 ${\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G}$  也是群同构。

“同构”关系满足等价关系的所有公理。如果 f 是在两个群 G 和 H 之间的同构，则关于 G 的只与群结构有关的所有为真的事情都可以通过 f 变换成关于 H 的同样为真的陈述，反之亦然。

从群 (G,*) 到自身的同构叫做这个群的自同构。就是说这是双射 ${\displaystyle f:G\rightarrow G}$  使得

${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}$ 。

自同构总是映射单位元到自身。共轭类在自同构下的像总是共轭类(同一个或另一个)。一个元素的像有同这个元素相同的阶。

两个自同构的复合也是自同构，并且群 G 的所有自同构的集合在复合运算下自身形成了一个群，即 G 的自同构群，指示为 Aut(G)。

对于所有阿贝尔群，至少有把群的元素替换为它的逆元的自同构。但是，在所有元素都等于它的逆元的群中这是一个平凡自同构，比如在克莱因四元群中。对于这种群三个非单位元的所有排列都是自同构，所以这个自同构群同构于 S₃ 和 Dih₃。

在对于素数 p 的 Z_p 中，一个非单位元元素可以被替换为另一个，带有在其他元素中的相应变更。这个自同构群同构于 Z_{p − 1}。例如，对于 n = 7，Z₇ 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在这个自同构群中的一个 6 阶自同构，因为 3⁶ = 1 ( modulo 7 )，而更低的幂不得出 1。因为这个自同构生成了 Z₆。这里还有一个自同构有这个性质: Z₇ 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此这两个对应于 Z₆ 的元素 1 和 5，以这个次序或反过来。

Z₆ 的自同构群同构于 Z₂，因为只有两个元素 1 和 5 的每一个能生成 Z₆，所以除了单位元之外我们只能互换它们。

Z₂ × Z₂ × Z₂ = Dih₂ × Z₂ 的自同构群有阶 168，这可以如下这样找到。所有 2³ - 1 = 7 个非单位元元素扮演相同的角色，所以我们可以选择让谁扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 2³ - 2¹ = 6 中的任何一个都可以被选择来扮演 (0,1,0) 的角色。这确定了谁对应于 (1,1,0)。对 (0,0,1) 我们可以有 2³ - 2² = 4 个选择，这就确定了余下的。因此我们有了 7 × 6 × 4 = 168 个自同构。它们对应于Fano平面的成员，它的 7 个点对应于 7 个非单位元元素。连接三个点的线对应于群运算: a, b 和 c 在一条线上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。参见在有限域上的一般线性群。

对于阿贝尔群除了平凡的之外的所有自同构叫做外自同构。

非阿贝尔群有非平凡的内自同构群，并可能也有外自同构。

• 同构基本定理