局部有限群

在数学的群论中,局部有限群的一种,研究方法与有限群相似。局部有限群的西罗子群卡特子群英语Carter subgroup阿贝尔子群等都有被研究。

定义和初步结果

一个群称为局部有限群,如果任意有限生成子群都是有限群。

由于局部有限群的循环子群都是有限群,所以局部有限群的每个元素的都是有限,因此局部有限群是周期群英语periodic group

例子和非例子

以下是局部有限群的例子:

  • 有限群
  • 无限个有限群的直和Robinson 1996,p.443)(但是其直积未必是局部有限)
  • ω-范畴群(Omega-categorical group)
  • 普吕弗群英语Prüfer group
  • 哈密顿群英语Hamiltonian group
  • 周期可解群
  • 局部有限群的任何子群
  • 霍尔泛群英语Hall's universal group是一个可数局部有限群,包含每个可数局部有限群为其子群。
  • 每个群都有唯一极大正规局部有限子群(Robinson 1996,p.436)
  • 在复数上的一般线性群的任何周期子群都是局部有限群。[1]

非例子:

  • 有无限阶元素的群
  • 塔斯基魔群英语Tarski monster group是周期群,但不是局部有限。

性质

局部有限群的对于子群、商群群扩张是封闭的。(Robinson 1996,p.429)

局部有限群适合较弱形式的西罗定理。若一个局部有限群有一个有限p-子群不包含在其他p-子群内,则所有极大p-子群都是有限和共轭的。若其共轭的数目有限,则此数对于模p同余于1。(Robinson 1996,p.429)其实若一个局部有限群的每个可数子群都仅有可数个极大p-子群,则这个群的所有极大p-子群都共轭。(Robinson 1996,p.429)


参考

  1. ^ Curtis, Charles; Reiner, Irving, Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons: 256–262, 1962 
  • Dixon, Martyn R., Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups, Series in Algebra 2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1994, ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499 
  • Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6 

外部链接