局部有限群
定义和初步结果
由于局部有限群的循环子群都是有限群,所以局部有限群的每个元素的阶都是有限,因此局部有限群是周期群。
例子和非例子
以下是局部有限群的例子:
- 有限群
- 无限个有限群的直和(Robinson 1996,p.443)(但是其直积未必是局部有限)
- ω-范畴群(Omega-categorical group)
- 普吕弗群
- 哈密顿群
- 周期可解群
- 局部有限群的任何子群
- 霍尔泛群是一个可数局部有限群,包含每个可数局部有限群为其子群。
- 每个群都有唯一极大正规局部有限子群(Robinson 1996,p.436)
- 在复数上的一般线性群的任何周期子群都是局部有限群。[1]
非例子:
- 有无限阶元素的群
- 塔斯基魔群是周期群,但不是局部有限。
性质
局部有限群的类对于子群、商群、群扩张是封闭的。(Robinson 1996,p.429)
局部有限群适合较弱形式的西罗定理。若一个局部有限群有一个有限p-子群不包含在其他p-子群内,则所有极大p-子群都是有限和共轭的。若其共轭的数目有限,则此数对于模p同余于1。(Robinson 1996,p.429)其实若一个局部有限群的每个可数子群都仅有可数个极大p-子群,则这个群的所有极大p-子群都共轭。(Robinson 1996,p.429)
参考
- ^ Curtis, Charles; Reiner, Irving, Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons: 256–262, 1962
- Dixon, Martyn R., Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups, Series in Algebra 2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1994, ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499
- Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6
外部链接
- A.L. Shmel'kin, L/l060410, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Otto H. Kegel and Bertram A. F. Wehrfritz (1973), Locally Finite Groups, Elsevier