西罗定理

设p是一个素数；则可定义G的西罗p-子群（或者称为p-西罗子群），其为G的p-子群中最大的一个(即其为G的p-群，且不为其他G的p-子群的真子群)。

西罗p-子群所组成的集合记为Syl_p(G)。 Syl_p(G)之中群的差异在群论的讨论中是可以忽略的。更明确地说，在Syl_p(G)内的每个群彼此间同构；这性质也同时回过头来决定了G的其他性质。

以下定理由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗首次于1872年提出并证明，刊载于《Mathematische Annalen》中。

给定一有限群G，则可以将|G|可以写成pⁿ ${\displaystyle \cdot }$  s 的形式

其中|G|表示G的阶，n为正整数，且p不为s的素因数。

定理1：存在一個階為pn的子群H，使得H為G的西羅p-子群。

下面的推论比起定理1较为狭义

推論：對任意有限群G，及任意|G|的質因數p，則在G之中，存在一個階為p的元素。

上述推论又称作柯西定理，由柯西首次证明

定理2：若H是G的子群，I為G的p-西羅子群，其中|H|=pk，k 為正整數，則存在一個G中的元素a使得aHa-1為I的子群。

从这可以推论出，所有G的西罗p-子群彼此共轭（且因共轭可得到同构），即若H、K皆为G的西罗p-子群，则存在一个于G内的元素g，使得g⁻¹Hg = K。

定理3：設np為G的西羅p-子群的数量且有${\displaystyle n_{p}\equiv 1\;(mod\;p)\;\;and\;\;n_{p}|s}$ 

特别地是，上述表示著每个西罗p-子群都会有相同的目pⁿ；相反地，若一个子群有pⁿ目，则其为一个西罗p-子群，且会同构于每个其他的西罗p-子群。基于素数最大次方的条件，若H为G的任一个p-子群，则H会为一个有pⁿ目之p-子群的子群。

定理3的一个很重要结论为n_p=1的条件会等价于描述此一G的西罗p-子群是一个正规子群。（存在没有正规西罗子群但有正规子群的群，如S₄。）

无限群的西罗定理

西罗定理有个对无限群的类比。可定义一个于无限群中的西罗p-子群为一个在所有群内之p-子群的内含关系内为极大的p-子群。因佐恩引理，这种子群存在。

定理：若K为一个G的西罗p-子群，且n_p = |Cl(K)|为有限的，则每一个西罗p-子群都会共轭于K，且n_p = 1 mod p，其中Cl(K)表示为K的共轭类。

设G为一个其目为15 = 3 · 5的群，则n₃必须整除5，且n₃=1 mod 3。其中唯一满足上述限制的值只有1；因此，只存在一个其目为3的子群，且其必须为正规子群（因为其没有其他的共轭）。相似地，n₅会整除3，且n₅=1 mod 5；因此亦只有一个其目为5的正规子群。当3和5为互素时，此两个子群的交集为平凡群{e}，所以G必须要是个循环群。因此，只存在一个其目为15的群（以同构来分），标记为Z/15Z。

举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个其目为350的简单群。若|G| = 350 = 2 · 5² · 7，则n₅必须整除14=2·7，且n₅ = 1 mod 5。因此，n₅=1（因为6和11都不会整除14），而因此G必然会有一个其目为5²的正规子群，故不可能为简单群。

西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群G会以许多种方式作用在其自身或其p-子群上，而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。在下面的论述中，用a|b来表示“a会整除b”，而a ${\displaystyle \nmid }$  b则用来表示“a不可整除b”。

定理1：一个其目|G|可以被一素数次方p^k整除的有限群G会有一个其目为p^k的子群。

证明：设|G|=p^km，p^r ${\displaystyle \mid }$ m且 p^r+1 ${\displaystyle \nmid }$ m 。记Ω为G的元素个数为p^k之子集所组成的集合，可知|Ω| = ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}}$ 及p^r+1 ${\displaystyle \nmid }$  ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}}$ ，基于之前r的选定。令G以左乘积作用于Ω上，则基于r之选定，会存在一个于Ω内的A，其具有一个会使p^r+1 ${\displaystyle \nmid }$  |θ|之轨道θ=A^G。这里会有|θ| = |A^G| = [G : G_A]的关系，其中G_A标示为集合A的隐定子子群，因此p^k | |G_A|，故p^k ≤ |G_A|。注意在G_A的作用下之于A内的两个元素a和ga可能为不同个的，所以|A| ≥ |G_A|。由上述p^k ≤ |G_A|和|A| ≥ |G_A|两个结果，故知|G_A| = p^k。然后，G_A即为此一想要的群。

引论: 设G为一个有限p-群，将G作用于一个有限集合Ω上，及令Ω₀为在G的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω₀| mod p。

证明：将Ω写成在G下之轨道此种不相交集合的并集。每一个在Ω内的元素x若在G的作用下不固定的话，其将会在其目为|G|/|G_x|之轨道上（其中G_x为隐定子），此目依题目的假设会是p的倍数（不可能为1，因为其目为1的轨道即为在G的作用下固定的点）。因此结论立即就出来了。

定理2：若H是G的子群且|H|=p^s，以及P为G的p-西罗子群，则存在一个在G内的元素a会使得aHa^-1为P的子群。特别地是，所有G的西罗p-子群都会共轭（且因此同构）于另一个，即若H和K为G的西罗p-子群，则存在一个G内的元素g会使得g⁻¹Hg = K。

证明：设Ω为G内P的左陪集所组成的集合，及H以左乘积作用在Ω上。应用H于Ω上的引理，可知|Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定义可知p ${\displaystyle \nmid }$  [G : P]，所以p ${\displaystyle \nmid }$  |Ω₀|，且因为|Ω₀| ≠ 0，故会存在一些gP ∈ Ω₀。因此对每个于H内的元素h，hgP = gP，故g⁻¹hgP = P且g⁻¹hg ∈ P，且因此h ∈ gPg⁻¹，故H会包含于某些G内元素g之gPg⁻¹内。若H为一个西罗p-子群，则|H| = |P| = |gPg⁻¹|，因此对某些在G内的g，H = gPg⁻¹。

定理3：设q为一有限群G的任一西罗p-子群的目，则n_p | |G|/q且n_p ≡ 1 mod p。

证明：依定理2，n_p = [G : N_G(P)]，其中P为任一个子群且N_G(P)为于G内P的正规化子，可知此数为|G|/q的约数。令Ω为所有G的西罗p-子群所组成的集合，且P以共轭作用于Ω上。设Q ∈ Ω₀并可知对所有x ∈ P，Q = xQx⁻¹，因此P ⊆ N_G(Q)。依定理2，P和Q会于N_G(Q)内共轭，尤其是Q会在N_G(Q)为正规，故可知P = Q。由上可知Ω₀ = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω₀| = 1 mod p。

由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里，已由William Kantor证明出一个西罗p-子群可以在输入数量的多项式时间内被找到。

• Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
• H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.