代数群

在代数几何中，一个代数群（或群簇）是一个群是一个代数簇，其簇之乘与逆由正则函数提供。以范畴论描述，一个代数群是一个于代数簇范畴 (数学)中的群对象。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

在数学中，域${\displaystyle k}$上的代数群有几种等价的描述：

• 光滑${\displaystyle k}$-代数簇范畴中的群对象。
• ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$上的分离、有限型群概形。
• 一个${\displaystyle k}$-代数簇${\displaystyle G}$配上${\displaystyle e:\mathrm {Spec} (k)\to G}$（单位元）、${\displaystyle m:G\times G\to G}$（群的二元运算）及${\displaystyle i:G\to G}$（逆），使之满足群论所要求的公理。

可以将代数群设想为李群的代数几何版本，代数群一样有切空间及李代数，却没有指数映射（某些幂零群除外）；李群可以表成${\displaystyle \mathrm {R} }$-代数群的覆叠空间。

代数群的典型例子包括${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$及椭圆曲线。仿射代数群必可表为${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$的子群，因此又称线性群。当${\displaystyle k}$是完美域时，Chevalley定理断言：设${\displaystyle G}$为${\displaystyle k}$-代数群，则存在短正合序列

${\displaystyle 1\to B\to G\to A\to 1}$

在此${\displaystyle B}$是线性群、${\displaystyle A}$是阿贝尔簇。准此，线性群与阿贝尔簇是代数群的基本构件。既非线性亦非阿贝尔簇的典型例子是带奇点的代数曲线之广义雅可比簇${\displaystyle \mathrm {Pic} _{X/k}^{0}}$。